文档介绍：平面向量的数量积在解析几何中的应用
尹建堂
在解析几何中涉及到长度、角度、垂直等的诸多问题中,如能适当地构造向量,利用向量的数量积的几何意义和运算法则,将其转化为向量的运算,往往使问题简捷获解。
一、与长度有关的问题
通过向量的数量积可以计算向量的长度,这给解决线段长度问题拓宽了思路,提供了方便。这里常用的公式有:;若,则;若,则A、B两点的距离公式为。
例1. 在△OFQ中,,=1,该三角形面积。以O为中心,F为焦点的椭圆经过点Q,求:(I)用c表示;(II)的最小值及此时点Q的坐标;(III)最小时的椭圆方程。
分析:本题重点是对(I)的求解。取图1的坐标系后设,则可用表示。如何消去,将其转化为,则是解题的关键。根据面积条件易求;再由条件及可求得,从而可消去,得到的关于c的表达式。
解:(I)取坐标系如图1所示。设Q(),又F,则
图1
,
因为
所以
又,得,
即
所以,故知
于是,得
(II)由(I)知,当且仅当时,,此时点Q坐标为()
(III)设椭圆方程为,由(II)知Q,又点Q在椭圆上,得
所以所求椭圆方程为。
二、与角度有关的问题
设向量都是非零向量,夹角为,则;若,则。以上是解决有关夹角问题的重要公式,称为夹角公式。利用上述公式,就能比较方便、容易地解决涉及角的诸多问题。
例2. 给定抛物线,F是C的焦点,过F的直线l与C相交于A、B两点,设l的斜充为1,求与夹角的大小。
分析:设出后,不难用韦达定理求出,于是容易求出及,再用夹角公式即可获解。
解:由焦点F(1,0),,
则,
代入,整理,得
设、,则
于是有=
所以
所以与夹角的大小为。
例3. 已知两点M(-1,0)、N(1,0),且点P使,成公差小于零的等差数列。
(I)点P的轨迹是什么曲线?
(II)若点P的坐标为,记为与的夹角,求。
分析:(I)设P(x,y),求出各有关向量的坐标,利用数量积公式,将题设条件转化为即所求轨迹方程;(II)求夹角公式,结合(I)知=0,先求出,进而求出。
解:(I)设P(x,y),则M(-1,0)、N(1,0),得
,
=(2,0)
所以
于是,是公差小于零的等差数列,等价于
所以点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆(除去两端点)。
(II)因为点在右半圆上,
所以
则
所以
因为
所以
,
所以。
三、与垂直有关的问题
对于非零向量,有;若,,则。这是体现“垂直”内涵的等式,借此可把解析几何复杂的位置关系转化为纯粹的向量运算。所以解析几何中涉及到垂直问题(垂直的判断或应用),利用这些向量关系式求解是非常方便的。
例4. 已知直线和圆,问是否存在实数b,使从点A(3,3)发出的光线被直线l反射后与圆O相切于点?若存在,求出b的值;若不存在,说明理由。
分析:假设存在这样的b,则OB垂直于反射