文档介绍：§
∞
定义 k 2
: ∑ a k (z − b ) = a0 + a1 (z − b)+ a 2 (z − b )
k =0
3
+ ... + a 3 (z − b ) + ... 为以 b为中心的幂函数
a k (k = 0,1,2,... )和 b是常数
一、收敛性:有类似实幂级数的able定理
∞
定理若 k 在收敛
1 .Able : ∑ a k (z − b ) z = z 0
k = 0
则它在 z − b < z 0 − b 内绝对收敛
在 z − b ≤ r (r < z 0 − b )上一致收敛
∞
若 k 在发散
∑ a k (z − b ) z = z1
k = 0
则它在 z − b < z1 − b 内发散
二、收敛圆和收敛半径
∞
收敛圆对于 k 存在一收敛圆
1. : ∑ a k (z − b ) z − b = R
k = 0
当 z − b < R它绝对一致收敛
当 z − b > R它发散
当 z − b = R它不定
∞
称为 k的收敛半径
R ∑ a k (z − b )
k = 0
收敛和发散区域不可能相间
a
R = lim k
k →∞
a k + 1
∞
由达氏判别法,对于
∑ f k
k = 0
f < 1 绝对收敛
当 lim k +1 = l
k →∞
f k > 1 发散
∞
对于 k
∴∑ a k (z − b ) :
k = 0
a (z − b )k +1 a < 1绝对收敛
当 lim k +1 = lim k +1 ⋅(z − b )
k →∞ k k →∞发散
a k (z − b ) a k > 1
a
< lim k 绝对收敛
k →∞
a k +1
故当(z − b )
a
> lim k 发散
k →∞
a k +1
1 a
故 R = = lim k
k →∞
l a k +1
∞∞ 1
例:求∑ z k的收敛半径, 并证∑ z k =
k = 0 k = 0 1 − z
a ∞
显然 R = lim k = 1故当 z < 1时 z k 一致收敛
k →∞∑
a k +1 k = 0
n a − a q a 1 − q n
等比数列 1 n 1 ( )
Q ∑ a k = =
k = 0 1 − q 1 − q
n n 1 − z n 当 z <1 1
又 z k = lim z k = lim =
∑ n →∞∑ n →∞
k = 0 k = 0 1 − z 1 − z
注意:以上求半径公式对于幂级数缺项的
情况不能简单套用
∞ 1
例:求 2 n的收敛半径
∑ 2 n z
n=0 2
由达氏判别法
1 2(n+1)
z 2 n
2(n +1) 2
lim 2 = lim ⋅ z 2
n→∞ 1 n→∞ 2 n+ 2
z 2 n 2
2