对称矩阵的标准形.ppt

文档介绍：实对称矩阵的标准形
对称矩阵的概念及性质
过渡矩阵的计算方法
对称矩阵与实二次型
二次曲面的化简及分类
定义12 A(∈L(V))称为对称变换,如果对任意的
Α,β∈V, (Aα,β) = (α,Aβ) .
引理3 A 是对称变换,V1是A - 子空间,则V1⊥是A -子空间.
证明: V1是A - 子空间→对任意的β∈V1, 有A β∈V1,
故(α,A β) = 0 (对任意的α∈V1⊥) →由A 是对称变
换可知(Aα,β) = (α,Aβ) = 0 → Aα∈V1⊥,即V1⊥是
A -子空间. □
引理4 A是对称矩阵,则Rn中属于A的不同特征值的特征向量正交.
证明: 如引理2,在R中引入线性变换A,设λ,μ是A 的
不同的特征值,α,β是A 的分属于λ,μ的特征向量→ Aα=λα, A β=μβ→因A 是对称变换, (Aα,β)
= (α,A β) →(λα,β) = (α,μβ) , 即λ(α,β) =
μ(α,β) →因λ-μ≠0,故得(α,β) = 0,即α⊥β.
Rn中对称变换A 的所有特征子空间两两正交.
λ1 λ2 ·········· λs
A
α
Vλ1
β
Vλ2
VλS
补充命题1 dimV= n, A ∈L(V),则以下条件等价:
1) 对任意的α,β∈V, (A α,β) = (α, A β) ;
2) A 在某标准正交基下的矩阵是实对称矩阵;
3) A 在任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.
证明: 1) => 2) 设A 在标准正交基ε1 ,ε2 ,···, εn下的矩阵是A = (aij) ,aij∈R. 只要证明 aij = aji 即可.
因为A εi = a1iε1 + a 2iε2 + a niεn (i=1,2,···,n),故
a ji = (A εi , εj ) = (εi , A εj ) = aij .
2) => 3) 设A 在任一标准正交基Ⅰ下的矩阵是B,则n维欧氏空间由标准正交基ε1 ,ε2 ,···, εn到标准正交基Ⅰ的过渡矩阵T是正交矩阵,即 T/ = T-1,且 B = T -1 AT = T/AT → B/ = (T/AT)/ =
T/AT = B , 即 A 在任一标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵.
3) => 1) 设在标准正交基ε1 ,ε2 ,···, εn下的矩阵A是实对称矩阵,即A / = A ,对任意的αβ∈V,
α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)X, β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)Y,
则 A α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AX , A β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AY
→(A α, β) = (AX)/ Y = X/A/Y =X/AY;(α, A β) = X/(AY) = X/AY, 即(A α, β) = (α, A β) →是对称变换. □
补充命题2 1) 单位变换是对称变换;
2) A ,B 是对称变换,则kA ,AB 仍是对称变换
(对任意的k∈R ).
证明: 略.
定理7 对任意的实对称矩阵A , 存在n阶正交矩阵T, 使得
T/AT = T-1AT 是对角矩阵.
ε1, ε2, ···,εn
η1, η2 , ···,ηn
证明分析: 在Rn中, 设A在给定的标准正交基ε1, ε2, ···, εn
下定义的线性变换是A , 问题即:寻找一标准正交基η1,η2, ···,ηn ,
使在该基下的矩阵是对角矩阵B →如图
(η1, η2, ···,ηn ) = (ε1,ε2, ···, εn )T,
T 即为要找的正交矩阵→证明的关键: 有n个特征向量构成标准
正交基即可, T 即是这 n 个特征向量ξ1,ξ2, ···,ξn作列向量构成的,
即 T = (ξ1,ξ2, ···, ξn).
L(V)
A
Rn×n
A
T
B=T/AT
=T-1AT