文档介绍：第三章导数与微分
第一节导数的概念
思考题:
1. 思考下列命题是否正确?如不正确举出反例.
(1)若函数=在点处不可导,则在点处一定不连续.
答:命题错误. 如在处不可导,但在此点连续.
(2)若曲线=处处有切线,则=必处处可导.
答:命题错误. 如:处处有切线,但在处不可导.
2. 若(为常数),试判断下列命题是否正确.
(1)在点处可导,
(2)在点处连续,
(3)= .
答:命题⑴, ⑵, ⑶全正确.
3. 试举出至少5个能用导数描述变化率的有实际意义的变量(写成小短文).
答: 导数表示函数的因变量在处相对于自变量的变化率. 在实际生活中, 如:
(1)物体的密度是物体的质量对体积的变化率;
(2)电流强度是单位时间内流过电路某一截面的电量, 即电量对时间的变化率;
(3)边际成本是产品的总成本对产量的变化率;
(4)在化学反应中某物质的反应速度是其浓度对时间的变化率;
(5)加速度是速度对时间的变化率.
习作题:
1. 利用幂函数的求导公式分别求出下列函数的导数:
(1), (2), (3).
解:(1) =100,
(2) =,
(3) ==.
2. 若曲线= 在处切线斜率等于 3 ,求点的坐标.
解:由题意得:= 3,
即, 解之得= .
把= 1 代入= , 得= 1 .
把= 代入= , 得= ,
综上得:点的坐标为(1,1)和(,).
3. 抛物线= 在何处切线与轴正向夹角为,并且求该处切线的方程.
解: 由题意得:=tan, 即2 = 1, 解之得= .
把= 代入= , 得= ,
= 在(,)点处切线与轴正向夹角为,
此处切线为, 即.
4. 已知,利用导数定义求极限.
解:
=
== =0.
第二节求导法则
思考题:
1. 思考下列命题是否成立?
(1)若,在点处都不可导,则点处也一定不可导.
答:命题不成立.
如:= =
,在= 0 处均不可导,但其和函数+= 在= 0 处可导.
(2)若在点处可导,在点处不可导,则+在点处一定不可导.
答:命题成立.
原因:若+在处可导,由在处点可导知=[+]在点处也可导,矛盾.
2. 与有无区别?为什么?
答:与有区别.
因为表示处的导数; 表示对处的函数值求导,且结果为.
3. 给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数吗?为什么?
答:一定能求出其导函数.
因为任何一个基本初等函数我们都可以求其导函数,而初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合运算形成,据复合函数的求导法则、导数的四则运算法则知给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数.
习作题:
1. 求下列函数的导数
(1)= 4+3+ 1, (2) = 4+3 +1,
解:= 8+ 3. 解:= 4.
(3) =++ 1, (4) =++ 1,
解:= 1+. 解:= + 1.
(5) = + 3, (6) = ,
解:= +3. 解:= .
(7) = .
解:=.
2. 求下列函数的导数:
(1)= 4, (2) =+10
解: 解:.
==.
(3) = , (4) = ,
解: 解: =
= =.
=.
(5) = , (6) =