文档介绍：II幂级数:
10定义,具有下列形式的函数项级数
称为幂级数
((令即上述形式))
取为常数项级数,如收敛,其和为
为常数项级数,如收敛,其和为
为和函数 ,,总收敛
对幂级数主要讨论两个问题
(1)幂级数的收敛域(2)将函数表示成幂级数
幂级数的收敛域具有特别的结构
定理:(i)如在收敛,则对于满足的一切都绝对收敛
(ii)如在发散,则对于满足的一切发散
证:(1)∵收敛
∴(收敛数列必有界)
而
为几何级数,当即收
∴收∴原级数绝对收敛
(2)反证:如存在一点使收
则由(1) 收,矛盾。
由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间,因此存在非负数R,使收,发,称R为收敛半径
20幂级数的收敛半径及其求法
定理:如幂级数系数满足
则(1)
(2)
(3)
注意:当的敛散性不能确定,要讨论
例1:求下列幂级数的收敛域
(1) (2)
(3) (4)
解:(1) 故
当原级数为为交错级数,满足
¬  ∴收敛
当原级数为发
∴收敛域为
解(2)由于∴
故收敛域为
解(3)

∴
当原级数为发
原级数为为交错级数
满足(1)
(2)设
,当,,
∴单调减, ∴
故收敛∴收敛域为[-1,1)
解(4)

令∴
当
原级数为

∴发散
同理级数也发散∴收敛域
例、P281 、
20幂级数的性质 P282
求幂级数的和函数:利用逐项求导,逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式,即化到公式:

在端点的敛散性与α有关。
例、P284 、
例、求下列幂级数的和函数
1、 2、
解1、
R=1,x=±1,un→0,∴收敛域为(-1,1)
令
(-1,1)
解2、
收敛域(-∞,+∞)
令
故,
例、利用计算幂级数的和函数,求下列级数的和
解:
记: (-1,1)

∴
30将函数展开成幂函数
1、泰勒级数与麦克劳林级数
设