文档介绍：测试题
第一章实数集与函数
(A)
:≥1时,有不等式
.
然后利用它证明:当≥2时,有
.
,试给出数,但不是S的下确界的正面陈述.
,即无上界又无下界.
,是定义在R上的偶函数,试问是奇函数还是偶函数?
:.
:
(1);(2).
,B为R中的非空数集,且满足下述条件:
(1)对任何有;
(2)对任何,存在,使得.
证明:
(B)
.
(1)利用二项式展开定理证明:
,其中是连乘记号.
(2)若,证明:
,求,
,B为位于原点右方的非空数集,
证明:
,试把延拓成R上的奇函数,分别如下:
(1); (2)
,不是单调函数的正面陈述。
:当时,有不等式
,B是非空数集,记,证明:
(1);
(2)
第二章数列极限
(A)
:
,求
,证明
证明
,并说明理由:
(1)
(2)若,则
,求证:
,则
(B)
,其中
(1);
(2)
,,…,,求极限
,,,试证存在发散数列,满足
,满足,则必能取到下确界。
,,试证
,,,,
证明
:若有界数列满足,则
第三章函数极限
(A)
:
,并按此验证:当时,
3、求极限
4、求极限:
5、举例说明下面关于的定义是不正确的:对于任意,存在,使得当时,便有
6、证明:在内无界,但时不是无穷大量。
7、设对任意正整数是中某些数的有限集,且当时○,定义函数
证明对所有中的
(B)
1、按定义验证:
2、写出函数极限的定义,并验证
3、求极限:
4、求极限:
5、证明:
(1)
(2)
6、设为时的无穷大量,与是多项式:
则当时,
7、设
(1)证明等式
(2)若,试证
第四章函九的连续性
.
(1)函数在点连续,但函数在点不连续;(2)函数,都在点不连续,分别讨论+或·在点是否必定不连续?
:
.
:
.
,作平行于轴的直线与三解形相交,证明其中必有一条直线把三角形分成面积相等的两部分.
:(1)在区间(0,1)内不一致连续;
(2)在区间(0,1)内一致连续.
,在上连续,且,证明在上一致连续.
(B)
.
:
:
.
,证明下述条件互相等价:
(1)对任何≤;
(2)对任何及任何0≤≤1;≤.
,对所有,且,证明必能取到最大值.
6. 设在上连续,为任意数.
(1)证明在的图形上有一点离(,0)最近,即在内存在某一使得点(,0)到曲线上任一点(
)的距离.
(2)试证用R代替时上述结论也成立.
,:若对任何区间,在内不能取得最小值,则的值域为区间.
第五章导数和微分
(A)
1、求下列函数的导数;
(1) (2)
2、求函数
在处的左、右导数,处可导吗?
3 设
试求a,b之值,使得处可导
4、判断下列命题的真伪,并说明理由
(1)若处可导,且在邻域内,则;
(2)若上的偶函数,且存在,则
5、求下列函数的阶导数;
(2)
6、设函数处可微,,证明存在x=0处连续的函数。
7、设证明
(1)适合方程
(2)求
(B)
1、求函数的导数
(1)
(2)
2、求函数在处的左、右导数,处可导吗?
3、设,且,求证处可导,又问这时
4、设
证明:存在,在x=0处连续,但在x=0处不可导。
5、试求由参变量方程
所确定的函数处的切线斜率
6、设内可导,试讨论
(1)存在是否可有存在?
(2)存在是否有存在?
7、设是定义在内的函数,在其中某一点处可导,,为任意两个数列,满足条件:
且,试证
第六章微分中值定理及其应用
(A)
:
.
,导函数在内有界,证明:,试问从函数有界是否能得到导函数是有界的?
:函数为次多项式的充要条件为:
,证明方程仅有一实根.
,且
试证:存在,使得,使得
.
,且