文档介绍：第五章函数逼近与计算
§1 引言与预备知识

用插值的方法对这一函数进行近似,要求所得到的插值多项式经过已知的这n+1个插值节点;在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象(龙格现象),即虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用函数逼近的方法。
所谓函数逼近是求一个简单的函数,例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这n+1个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,,函数逼近就是从整体上使误差,尽量的小一些。

“对函数类中给定的函数,要求在另一类较简单的便于计算的函数类中,求函数,使与之差在某种度量意义下最小。”
函数类通常是区间上的连续函数,记作;函数类通常是代数多项式,分式有理函数或三角多项式。
区间上的所有实连续函数组成一个空间,记作。的范数定义为
,
称其为—范数,它满足范数
的三个性质:
I),当且仅当时才有;
II)对任意成立,为任意实数;
III)对任意,有
III式称为三角不等式。
度量标准最常用的有两种,一种是

在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近;
另一种度量标准是
.
用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平方逼近。这里符号及是范数。本章主要研究在这两种度量标准下用代数多项式逼近。

用一致逼近,首先要解决存在性问题,即对
上的连续函数,是否存在多项式一致收敛于?维尔斯特拉斯(Weierstrass)给出了下面定理:
定理1 设,则对任何,总存在一个代数多项式,使
在上一致成立。
证明:略。(伯恩斯坦构造性证明)
假定函数的定义区间是[0,1],可通过线性代换:
把映射到。
对给定的,构造伯恩斯坦多项式,此为n次多项式:
;
其中,且
这不但证明了定理1,而且给出了的一个逼近多项式。多项式有良好的逼近性质,但它收敛太慢,比三次样条逼近效果差得多,实际中很少被使用。

§2 最佳一致逼近多项式
2-1 最佳一致逼近多项式的存在性
切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题,他不让多项式次数趋于无穷,而是固定,记次数小于等于的多项式集合为,显然。记, 是上一组线性无关的函数组,是中的一组基。
中的元素可表示为
,
其中为任意实数。要在中求逼近,使其误差
这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。为了说明这一概念,先给出以下定义。
定义1 ,称

为与在上的偏差。
显然的全体组成一个集合,记为,它有下界0。若记集合的下确界为

则称之为在上最小偏差。
定义2 假定,若存在
,