文档介绍：§5 曲线拟合的最小二乘法
一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘法)的一般提法是:对给定的一组数据,要求在函数类中找一个函数,使误差平方和
其中
带权的最小二乘法:

其中是[a, b]上的权函数。
用最小二乘法求曲线拟合的问题,就是在中求一函数,使取的最小。它转化为求多元函数

的极小点问题。由求多元函数极值的必要条件,有

若记

则上式可改写为

这个方程称为法方程,矩阵形式
其中,

由于线性无关,故,方程组存在唯一解
从而得到函数的最小二乘解为

可证
故使所求最小二乘解。
已知一组实验数据,求它的拟合曲线。

1
2
3
4
5
4

6
8

2
1
3
1
1
解:根据所给数据知,可选择线性函数作拟合曲线。
令, 这里
故

由方程组
所求拟合曲线为
例9 在某化学反应里,根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表,求浓度y与时间t的拟合曲线
时间t(分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
浓度
4.
6.
8.
8.
9.
9.
9.
9.
10.
10.
10.
10.
10.
10.
10.
10.
y×10-3
00
40
00
80
22
50
70
86
00
20
32
42
50
55
58
60
解:将数据标在坐标纸上,可发现数据符合双曲线函数或指数函数。
双曲线函数拟合
双曲线型: 即
为了确定令
由数据表t, y生成数据表于是可用的线性函数拟合数据
。方法与上例一样解方程组
得
从而有
其误差为
指数函数拟合
拟合曲线形如对其两边取对数
为了确定令
由计算出,拟合数据的曲线仍为
用例8的方法计算出
从而
最后求得
误差为
两个模型的比较
本例经计算可得
均方误差为
由此可知及都比较小,所以用作拟合曲线较好。
确定拟合曲线的数学模型需要选择比较。

用正交函数作最小二乘拟合
法方程组系数矩阵G是病态的,但如果是关于点集带权正交的函数族,即