文档介绍：§6 近似最佳一致逼近多项式
由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项式(伯恩斯坦多项式)
一、截断切比雪夫级数
利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近似最佳一致逼近多项式。
如果,按展成广义富利叶级数,由正交多项式展开公式

可得~
此式称为函数在上的切比雪夫级数。
由
及
得到
这里。
若令,则
~
就是的富利叶级数,其中

根据富利叶级数理论可知,只要在上分段连续,则的切比雪夫级数一致收敛于,从而

取它的部分和

其误差为

由于有个轮流为‘正、负’的偏差点,所以近似地有个偏差点,由切比雪夫定理,可作为在上的近似最佳一致逼近多项式,实际计算表明它与最佳一致逼近多项式非常接近,而计算较方便。
例: 求在上的切比雪夫展开。
解由富利叶级数系数公式得
,
它可用后面介绍的数值积分方法计算,得到
由及的公式得到
,
当区间为时可用变量置换
求得近似最佳一致逼近.
例如,求在上的近似最佳一致逼近一次式,可令,对,,按切比雪夫系数求得
于是

,
。
事实上是奇函数,当区间为时,它的切比雪夫展开也是奇函数,如可求出

,
与最佳逼近的误差分布近似(通过计算最佳逼近偏差)。这说明用切比雪夫展开部分和
逼近的效果相当好。若用台劳展开,要使误差不超过就必须取1000项,因为欲使,只有当时才成立。
用切比雪夫展开还可得到其他基本初等函数的近似最佳逼近多项式。
二、拉格朗日插值余项的极小化
基本思想:以切比雪夫多项式的零点为节点构造函数
的插值多项式,作为其最佳一致逼近多项式的近似。
由切比雪夫多项式性质2可知,若以
为插值节点作n-1次插值多项式,则
与零的偏差最小,此时插值余项

其中。
如果插值区间是,不是,可做变换,令
使在上变化,于是
它的最高项系数为,故有
,
这时只要选插值节点
,
相应地