数值计算方法讲稿15.doc

文档介绍：§4正交多项式
若首项系数的次多项式,满足

就称多项式序列,在上带权正交,并称是上带权的n次正交多项式。
构造正交多项式的格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法
定理:按以下方式定义的多项式集合是区间上关于权函数
的正交函数族。


其中


证明可用归纳法,略。
例:求在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式。
解: 构造正交多项式



于是


故在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式为
4-1勒让德多项式
当区间为[-1,1],权函数时,由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式,并用表示。

是n次多项式,对其n次求导后得
首项的系数
显然最高项系数为1的勒让德多项式为

勒让德(Legendre)多项式具体表达式为


性质1 正交性

证明:反复用分部积分公式,略。
性质2 奇偶性

n为偶数时为偶函数,n为奇数时为奇函数。
性质3 递推关系

证明略。
性质4 在所有最高项系数为1 的n次多项式中,勒让德多项式
在[-1,1]上与零的平方误差最小。
证:设是任意一个最高项系数为1的多项式,可表示为

于是
证毕。
性质5 在区间[-1,1]内有n个不同的实零点。
4-2第一类切比雪夫(Chebyshev)多项式
当区间为[-1,1],权函数时,由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫(Chebyshev)多项式。它可表示为

若令当在[-1,1]上变化时,对应的在[0,π]上变化,其可改写成

具体表达式为


是首项系数为的次多项式。
性质1 递推关系