数值计算方法讲稿14.doc

文档介绍：§3 函数平方逼近
用均方误差最小作为度量标准,研究函数的逼近多项式,就是最佳平方逼近问题。
若存在,使
,
就是在上的最佳平方逼近多项式。
定义设在区间上非负函数,满足条件:
1) 存在;
2) 对非负的连续函数,若
,
则在上,就称为区间上的权函数。
对及中的一个子集,若存在,使

则称是在子集中的最佳平方逼近函数。
令,求等价于求多元函数

的最小值。为权函数。
由于是关于的二次函数,利用多元函数求极值的必要条件
,
,
内积定义
于是有.

这是关于的线性方程组,称为法方程,由于
线性无关,故系数行列式,于是此方程组有唯一解,从而得到
定理5 在上线性无关的充分必要条件是它的克来姆(Gramer)行列式,其中


证:在上线性无关,则由方程

知
将此方程两边分别乘以之后在积分,便得到下列方程组:
即
此齐次方程组只有零解,故其系数行列式的值一定不为0,即。
反之,若,同样对可经过适当变换得到在上线性无关。
证明为最佳平方逼近函数
即对任何,有

为此只考虑


由于的系数是方程
的解,故
,
从而上式第二个积分为0,于是
这就证明了是在中的最佳平方逼近函数。
若令,则平方误差为


由于

所以

若取,则要在中求次最佳平方逼近多项式
,