文档介绍：数值计算方法
开课单位:数学系
张敏洪(数学系) mh_******@gscas.
考试方式:闭卷。作业占20%―30%,卷面70%―80%。
讲义、作业及答案可下载。
主要参考书:
,《数值计算方法》,北京理工大学,1998。
,《数值分析》,华中理工大学出版社,武汉,1994。
3. 施妙根等,《科学和工程计算基础》,清华大学出版社出版,北京,1999。
4. 关治,陆金甫,《数值分析基础》,高等教育出版社,北京,1998。
数值计算方法
绪论
§1 数值计算方法研究的对象与特点
数值计算方法:研究适合计算机进行科学计算的方法。
使用计算机、离散。
解决科学技术和工程问题的步骤:
实际问题è建立数学模型è研究计算方法è
编程上机计算è求的结果。
例如:⑴某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。
⑵为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。
⑶采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解,然后
再整体平滑。
⑷编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。
数值计算方法课的主要基础与内容:
计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算
数值代数:求解线性方程组的解法(分直接方法和间接方法),求矩阵的特征值与特征向量。
2. 数值逼近:插值和数值逼近,数值微分和数值积分。
3. 方程求解:非线性方程、常微分方程、偏微分方程数值解法。
特点:
面向计算机。
有可靠的理论分析(收敛性、稳定性、误差分析)。
要有好的计算复杂性(时间、空间)
要有数值试验。
对算法所要考虑的问题:
计算速度。例如,求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆法则要进行次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。
。大型问题有必要考虑。
。在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。
§2误差的来源与误差分析的重要性
误差的来源与种类
实际问题è建立数学模型è研究计算方法è
编程上机计算è求的结果。
模型误差: 在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。
测量误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。
截断误差: 在设计算法时,必然要近似处理,寻求一些简化。
例: 当很小时,可用作为的近似值,其截断误差小于。
例: 对函数用Taylor展开,用多项式
近似代替,则数值方法的截断误差为
。
舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。
例:π、1/3,……取小数点8位、16位。
数值分析主要讨论截断误差。测量误差看作初始的舍入误差, 数值分析也要从整体来讨论舍入误差的影响,但这儿不讨论模型误差。
误差分析的重要性:举例说明
例:计算并分析误差, (n=0,1,2……)
由积分估值

且由积分性质知

可设计如下两种算法:
算法1:取, 按公式
(n=0,1,2……) 依次计算的近似值。
设。假设计算过程中不产生新的舍入误差,
则有
(n=0,1,2……)
=> 误差扩散。
算法2:从计算,应有=> 。
数值稳定,在运算过程中,舍入误差不增大。
§3误差的基本概念
(绝对)误差与(绝对)误差限
是精确值,是它的一个近似值,称是近似值的绝对误差。简称误差。
误差是有量纲的,可正可负。
误差是无法计算的,但可以估计出它的一个上界。即,称是近似值的误差限,即。

称为近似值的相对误差,记作。相对误差是个相对数,是无量纲的,也可正可负。
相对误差的估计,称为相对误差限,即。
实际中, 是未知的,可用来代替。当较小时,因两者的差为:
是的高阶无穷小,可忽略不计。

定义: 如果近似值的误差限是(某一位数的半个单位),则称准确到小数点后n位,并从第一个非零的数字到这一位的所有数字均为有效数字。
例:π=,
,。
例: 近似值准确到小数点后五位,有三位有效数字。