文档介绍：§4 埃尔米特插值
问题的提出:
不少实际问题不但要求在节点上函数值相等,而且
还要求它的导数值也相等(即要求在节点上具有一阶光
滑度),甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值
多项式就是埃尔米特(Hermite)插值多项式。下面只讨
论函数值与导数值个数相等的情况。
数学描述:
设在节点上,,,要求插值多项式,
满足条件

求解的思想:
这里给出了个条件,可唯一确定一个次数不
超过的多项式
,其形式为
,
如根据上面的条件来确定个系数,
显然非常复杂,因此,我们仍采用求拉格朗日插值多项
式的基函数方法。
先求插值基函数及,共有
个,每一个基函数都是次多项式,且满足条件

于是满足Hermite插值条件的插值多项式可
写成用插值基函数表示的形式

由所要构造的基函数满足的条件,显然有,。下面的问
题就是求满足条件的基函数
及。
确定基函数:
可利用拉格朗日插值基函数。
令
其中是拉格朗日插值基函数。由要构造的Hermite
插值基函数条件有

整理得

解出

由于

利用两端取对数再求导,得

于是

同理,由于在处函数值与导数值均
为0,而,故可设

又由于,有
即
故有

Hermite插值多项式是唯一的
用反证法,假设及均满足Hermite
插值条件,于是由
.
有

在每个节点上均有二重根,即有重根。
但是不高于次的多项式,故。
唯一性得证。
Hermite插值多项式余项:
仿照拉格朗日插值余项的证明方法,若在
内的阶导数存在,则其插值余项

其中且与有关。
三次Hermite插值:
作为Hermite插值多项式的重要特例是的情形。
这时可取节点及,插值多项式为,满足条件

相应的插值基函数为、、、,它
们满足条件