文档介绍：§5 分段低次插值
5-1 多项式插值的问题
前面根据区间上给出的节点做插值多项式
近似,一般总认为的次数越高逼近的精度
越好,但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点
,当时,不一定收敛到,本世纪初龙格
(Runge)就给出了一个等距节点插值多项式不收
敛的的例子。他给出的函数为。它在
上各阶导数均存在,但在上取个等距节点
所构造的拉格朗日插值多项式
.
当时,只在内收敛,而在这区间外是
发散的。
因此随着插值结点数增加,插值多项式的次数也相
应增加,而对于高次插值容易带来剧烈振荡,带来数值不
稳定。为了既要增加插值结点,减小插值区间,以便更好
的逼近被插值函数,又要不增加插值多项式的次数以减少
误差,可以采用分段插值的办法。
5-2 分段线性插值
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起
来逼近。设已知节点上的函数
值,记,求一折线函
数满足:
1° 记,
2° ,
3° 在每个小区间上是线性函数,
则称为分段线性插值函数。
Y
X
x0 x1 x2 x3 … xn-1 xn
由定义可知在每个小区间上可表示为

若用插值基函数表示,则在整个区间
上为

其中基函数满足条件,
其形式是

分段线性插值基函数只在
附近不为零,在
其它地方均为零,这种性质称为局部非零性质。
例:已知函数,在[0, 5]上取等距节点
。求分段插值函数,及近似值。
解:
0
1
2
3
4
5

分段线性插值基函数为:

分段线性插值函数为:

精确值为。
收敛性证明:
当时,
故
.
另一方面,这时

现在证明。考虑

.
这里是函数在区间上的连续模,即对任
意两点,只要,就有
,
称为在上的连续模,当
时,就有。
由前式可知,当时有
,
因此,只要,就有
在上一致成立,故在上一致收敛到。
分段线性插值的误差估计: