lecture1(II) 矢量与张量.ppt

文档介绍：??▽▽算符及其运算公式算符及其运算公式称为梯度算符。),,(zyxzyx zyx?????????????????eee由定义式可知,梯度算符是一个具有矢量性质的偏微分算符,在具体运算中必须考虑这些特点。) sin 1, 1,( sin 11?????????????????????????rrrrrr eee r球坐标系下: ?????????????????? fr fr frrr r sin 1) (sin sin 1)( 1 22f ??▽▽算符的运算公式算符的运算公式设以φ、ψ代表标量场, f、g代表矢量场,则根据矢量代数和算符的性质可以证明下列公式: * *(1) ???????????)(* *(2) fff???????????)()(* *(3) fff???????????)()(* *(4) )( )()(gf gfgf???????????* *(5) gfgf fgfggf)()( )()()(???????????????* *(6) fgfg gfgfgf)()( )()()(????????????????* *(7) ?? 2?????* *(8) fff 2)()(??????????…………??张量与并矢张量与并矢??并矢并矢两个矢量之间,除进行标乘和矢乘外,还存在一种关系——并矢,即????????? 332211 332211eeeb eeeabbb aaa333323231313 323222221212 3**********eeeeee eeeeee eeeeeeab Tbababa bababa bababa????????????对于并矢,两个矢量之间不作任何运算。并矢是一个物理量,它由 9个分量构成。这 9个分量分别为?? 332313 322212 312111bababa bababa bababa? ab一般地,有??ba ab?? 332313 322212 312111ababab ababab ababab ba ab?? ??张量张量类似并矢这种具有 9个分量的物理量,称为三维的二阶张量。或简写成?????????? 33 32 31 23 22 21 13 12 11TTT TTT TTT)3,2,1,(?jiT ij二阶张量的 9个分量可以用矩阵表示为三维二阶张量的一般定义为??????? 31 31ij ijTT jiee式中,并矢 e i e j是张量的 9个基矢, T ij称为张量在这些基上的分量。????????????0 1 13 32 21 31 23 12 33 22 11TTTTTT TTT*当各分量满足时,张量称为单位张量,用表示。?? I二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式? ji ijTT?*两个张量相等是指它们所有的分量分别相等时,称为对称张量。*当张量满足 ji ijTT??时,称为反对称张量。此时有*当张量满足 0 33 22 11???TTT ??张量代数张量代数??张量的加减张量的加减两个张量相加或相减时,是将它们对应的分量分别相加或相减,并服从交换律和结合律。标量与张量相乘,相当于用该标量乘张量的每一个分量。即 jieeT??????? 31 31ij ijT????张量与标量的乘积张量与标量的乘积当矢量与并矢点乘时,矢量仅与并矢中相邻的一个矢量点乘,运算结果为一个矢量。即 baf ab fTf)( )(?????????张量与矢量的乘积张量与矢量的乘积* *矢量与张量的标积矢量与张量的标积显然,矢量与张量的标积不满足交换律,即 fTTf???????