文档介绍：§1 向量代数

向量的定义

从几何观点来看,向量定义为有向线段。在三维欧氏空间中,建立直角坐标系,沿坐标方向的单位向量为,即其标架为。设从坐标原点至点的向量为,它在所述坐标系中的坐标为,那么可写成

()

设在中有另一个坐标系,其标架为,它与之间的关系为
()
由于单位向量之间互相正交, 之间也互相正交,因此矩阵
()

将是正交矩阵,即有,其中上标表示转置。从()可反解出

()

向量在新坐标系中的分解记为

()
将()代入(),得到

()

公式()是向量的新坐标和旧坐标之间的关系,它是坐标变换系数的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质(如:长度、角度)不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说,公式()表示了向量在坐标变换下的不变性。
这样,我们就从向量的几何定义,得到了向量的代数定义:一个有序数组,如果在坐标变换下为关于变换系数由()所示的一次齐次式,则称之为向量。
Einstein约定求和
用求和号,可将()写成
()
所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号,例如()可写成
()
在此规则中两个相同指标就表示求和,而不管指标是什么字母,例如()也可写成
()
有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明,相同的英文指标总表示从1 至3 求和。
按约定求和规则,()、()可写成
()
()
将()代入(),得

()

由此就得到了()式的约定求和写法,

()

今引入Kronecker记号,

()

例如。应用,单位向量之间的内积可写成

()

向量和向量之间的内积可写成

()

上式中最后一个等号是因为只有时, 才不等于零,在这里的作用似乎是将换成了,因而也称为“换标记号”。
再引入Levi-Civita记号,

()

其中分别取1,2,3中的某一个值。例如, ,,…。利用,向量之间的外积可写为
()
()
与之间的关系
Kronecker记号与Levi-Civita记号之间有如下关系

()

证明1 穷举法,先列出所有可能的81种取值情况,

情形

1
2
3
┆
1 1 1 1
1 1 1 2
1 1 1 3
┆┆┆┆

然后逐个情形证明,例如,情形1, ,故此情形()成立,…。

证明2 我们有双重外积公式
()
将代入()左右两边,得到
将上述两式代入()两边,移项,得
()
由于的任意性,从()即得欲证之()式。
证明3 利用Lagrange公式
()
按证明2 类似的步骤,从()可导出()。

证明4 从()和向