文档介绍：第一单元积分的几何应用
一、学习目标
通过本节课的学习,了解定积分的几何意义,学会计算曲边梯形的面积,进而计算平面图形的面积
二、内容讲解
积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义,也能通过几何图形直观地理解定积分的性质.
,我们知道怎样计算矩形的面积,但要把这块土地当作矩形来计算,,可以将这块土地划分成一些小条形状,将每个小条近似地当作一个矩形(这样误差很小),那么,这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值.
将这块土地抽象成坐标系中的这个图形,图形上端曲线方程为,将图形划分为一些小条,其中小条面积用矩形面积近似,即
y
x
O
a
b
x
x+Δx
 
图形的面积近似为
小条分得越细,近似程度越高,令所有小条的宽度趋于0,、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题.
如果用表示图形的面积,由定积分的定义可知
从这个问题的解决可以看出,当时,:当时,的几何意义就是表示由曲线与轴及直线所围的曲边梯形的面积.
再来看一般的情况,计算如下图形的面积
y
x
O
a
b
 
图形上面的曲线为,下面的曲线为,由定积分的几何意义可知图形的面积为
或表示为
一个积分是在对称区间上的积分,如果遇到这样的积分,就可以考察被积函数的奇偶性,结论是
y
x
O
-a
a
这个结论可以由几何直观加以证
y
x
O
-a
a
从上图可以看出,
当是奇函数时有;
当是偶函数时有.
问题思考1: 直线与轴是什么关系?
答案直线就是轴.
问题思考2: 圆心在原点的单位圆的方程是什么?
y
x
O
1
2
答案圆心在原点的单位圆的方程是
三、例题讲解
例1 三角形底为1,高为2,求三角形的面积.
解:按三角形面积公式有
用定积分计算(如图) 
例2 梯形上底为1,下底为2,高为1,求梯形的面积.
y
x
O
1
2
2
解:按梯形面积公式有
用定积分计算(如图)
例3求半径为2的圆的面积.
解:按圆的面积公式有
y
x
O
2
用定积分计算(如图)
令,则,
时;时.
例4 求由,及轴和轴围成的平面图形的面积.
解:平面图形如图所示
y
x
O
1
1
2
例5求由,轴在区间上围成的平面图形的面积.
y
x
O
1
π/2
解:平面图形如图所示
 
例6 求由,所围成的平面图形的面积.
解:平面图形如图示,在区