文档介绍：第二章矩阵
基本要求:理解矩阵的概念,熟练掌握矩阵的运算,理解逆矩阵并会求逆矩阵,了解分块矩阵。
矩阵是线性代数中重要的工具,我们先从线性方程组引出矩阵。
§1矩阵的概念
已知n元线性方程组
的系数及常数项可以排成m行,n+1列的有序矩阵数表:

说明:这个有序矩阵数表完全确定了线性方程组(1),对它的研究可以判断(1)的解的情况。
定义1. 由个数排成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称矩阵,其中叫做矩阵的元素。
根据元素的特点,矩阵可分为实矩阵与复矩阵。
下面给出一些特殊矩阵:
行矩阵 m=1
列矩阵 n=1
零矩阵
方阵,,称为n阶方阵。
单位矩阵称为n阶单位矩阵。
应用举例:
例1. 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
其中为工厂向第店发送第种产品的数量。
这四种产品的单价及单件重量也可以写成矩阵

其中为第种产品的单价,第种产品的单件重量。
例2. 北京市某户居民第三季度每个月的水(单位:)、电(单位:)、天然气(单位:)的使用情况,可以用一个三行三列的数表来表示,即
§2矩阵的运算
一、矩阵的加法
设称为同型矩阵(行列数均相等)。
相等
加法

加法律(1) (2)
例3.. 求矩阵,使,其中
,
解:。
二、数与矩阵的乘法
运算律:(1); (2);
(3)
注:矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算。
例4. 设从某地四个地区到另外三个地区的距离(单位)为:
/. 那么,各地区之间每吨货物的运费可记为

三、矩阵的乘法
。
设有两个线性变换
其系数矩阵
其系数矩阵
将代入,可得从到的线性变换:

称为与的乘积。
相应地,称的系数矩阵为与的系数矩阵的乘积,记作:

一般地,我们有
矩阵与矩阵的乘法
定义2. 设则规定与的乘积是一个矩阵,其中
并记作
注:(1). 一行与一列相乘

故的第行第列位置上的元素就是的第行与的第列的乘积。
(2). 只有的列数等于的行数时,才有意义(乘法可行)
例5. 设, 求
解
得
注:是不可行。
例6. 设,,求及。
解:
由此发现: (1),(不满足交换律)
(2),,但却有。
3. 矩阵乘法的运算律(假定运算是可行的)
(1) 结合律
(2) 分配律
(3)
(4) , (单位矩阵的意义所在)
4. n阶方阵的幂
设是n阶方阵,则定义

或
规律: ,,其中为正整数。
但一般地,,为n阶方阵。
例7. 计算
解: 设,
则,
假设,
则,
于是由归纳法知,对于任意正整数n,有
例8. 令,,,
则线性方程组可用矩阵乘