文档介绍：若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时,相应地部分量可近似地表示为的形式,,记为,所求量的积分表达式为
重积分的应用
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.
1。平面图形的面积
由二重积分的性质,当 f( x, y ) =1 时
区域D的面积
2。空间立体的体积
设曲面的方程为
对三重积分而言
则曲顶柱体的体积为
由三重积分的物理意义知空间闭区域的体积为
计算由曲面
解一
用二重积分
与 xoy 面所围成的立体的体积
由对称性得
例1
解二
用三重积分
所围成的立体的体积
解一
(用极坐标)
解二
是柱形区域,用柱坐标
例2
①.设曲面的方程为:
如图,
3。曲面的面积
曲面S的面积元素
②.设曲面的方程为:
曲面面积公式为:
③.设曲面的方程为:
曲面面积公式为:
同理可得
解
曲面的方程为
求半径为R的球面的表面积
解
曲面方程为
(由对称性)
例4
计算圆柱面
被圆柱面所截的部分的面积
解
由对称性可知A=8A1
A1 的方程
例5