文档介绍：上海师范大学标准试卷
2004 ~2005学年第二学期考试日期 2005 年 6 月日
科目数学分析II(B卷)
专业本、专科年级班姓名学号
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
我承诺,遵守《上海师范大学考场规则》,诚信考试。签名:________________
一、(本题共8分, 每小题4分)用分析语言叙述下列定义:
无穷限广义积分收敛
使得对于任意的且,有
函数项级数在集合上一致收敛于函数
,,使得当时,对于,有,其中。
二、本题共24分
1. 判断广义积分的敛散性(5分)
答:收敛。原因:,而收敛。
2. 判断广义积分的敛散性(5分)
答:发散。原因:,于是
,而发散。
3. 计算广义积分收敛(6分)
解:
=。于是原广义积分等于。
,讨论广义积分的敛散性(8分)
解:记,。收敛当且仅当;收敛当且仅当。于是原广义积分收敛当且仅当。
三、设在上连续(,在中一致收敛,证明:,都收敛,并且在上一致收敛。(8分)
证明:,存在,使得当时,对于任意的自然数及,有。在左式中令,得。由柯西收敛原理知,收敛。同理知,收敛。由以上的证明过程知,只要,对于任意的自然数及,都有,故在上一致收敛。
四、判断下列函数列或函数项级数在指定区间上的一致收敛性(本题共20分)
,(6分)
解: ,因为收敛,故原函数项级数在上一致收敛。
2.,(6分)
解:当,;当时,。于是极限函数在处不连续,而每个都连续,故原函数列在给定的区间上不一致收敛。
3. ,(8分)
解:令,则。当时,
,此时;当时,。注意到,所以在处不连续。又每个都在上连续,故原函数项级数在上不一致收敛。
五、设,求(6分)
解:,有,故在上一致收敛。又每个在上连续,所以有
。
六、将函数展开为的幂级数,并指出幂级数的收敛域(6分)
=,