文档介绍：高等院校非数学类本科数学课程
——一元微积分学
大学数学(一)
第三十四讲常微分方程
脚本编写:刘楚中
教案制作:刘楚中
第七章常微分方程
本章学习要求:
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.
了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方
程、一阶线性方程、伯努利(Bernoulli)方程和全微分
.
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.
知道下列高阶方程的降阶法:
了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线
性微分方程的解法.
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.
掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余
弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方
程的解法.
第三节几种可降阶的高阶常微分方程
二阶和二阶以上的微分方程,称为高阶微分方程。
通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法,称为“降阶法”。
“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。
这是变量可分离的方程,两边积分,得
即
只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程,但请注意:每次积分都应该出现一个积分常数。
例
解
这是一个一阶微分方程。设其通解为
连续积分即可求解。
例
解
两边积分,得
即
再积分,得原方程的通解
例
解
分离变量,得
积分,得
连续积分 4 次,得原方程的通解为
于是,原方程化为
这是一个一阶微分方程。设其通解为
这是一个变量分离方程,它的通解就是原方程的通解。