文档介绍：第三章曲面的第一基本形式
§4 局部等距对应
曲面之间的相互关系,比曲线之间的相互关系要复杂的多;,对于两张曲面,如果其间存在点与点之间的对应关系,使两者参数之间的变换成为容许参数变换,,,并通常简称为“对应”.
直观地进行观察,若平面、柱面、锥面进行“不伸缩”的“卷曲”或“展开”,将在它们之间建立自然的对应;这种对应将保持弧长以及由弧长所完全确定的几何量都不变,,在“贴广告”,并为今后对几何空间进行更深入的抽象而建立背景.
定义1 对于两张对应的曲面,若它们对应着的弧段总是具有相等的弧长长度,则称这个对应是两张曲面之间的一个局部等距对应,,则称该对应是一个等距对应,称这两张曲面是等距的.
等距与局部等距的区别,可从观察平面与圆柱面之间的联系和区别入手,,所以通常只考虑曲面之间的局部等距对应,并可简称为等距对应.
定理1(局部等距对应充要条件) 两张曲面局部等距的充要条件是按对应关系具有相同的第一基本形式.
证明设两张对应的曲面 S: r(u, v) 和 S*: r*(u*, v*) 之间的对应关系为容许参数变换,S* 的量总相应标示以星号.
若 S 和 S* 按对应关系具有相同的第一基本形式 ds2 = ds*2 ,则按对应关系总有|dr| = |dr*| ,即弧长元素对应相同,从而对应着的弧段总是具有相等的弧长,即 S 和 S* 局部等距.
反之,设已知 S 和 S* (u, v) 下,写 S 和 S* 的第一基本形式分别为
ds2 = E(u, v) du2 + 2F(u, v) dudv + G(u, v) dv2 ,
ds*2 = E*(u*, v*) du*2 + 2F*(u*, v*) du*dv* + G*(u*, v*) dv*2
=`E(u, v) du2 + 2`F(u, v) dudv +`G(u, v) dv2 .
因为对应着的弧段总是具有相等的弧长,所以在对应点处以相同的切方向 du:dv 所作的对应曲线具有相等的弧长元素 ds = ds* ;特别沿 u 曲线 du:dv = 1:0 成立 E(u, v) =`E(u, v) ,沿 v 曲线 du:dv = 0:1 成立 G(u, v) =`G(u, v) ,进而沿曲线 du:dv = 1:1 成立 F(u, v) =`F(u, v) ,即在对应点处总是具有相等的第一基本形式. o
需要注意的是,等距的曲面之间能够作为容许参数变换的对应关系,并不一定具有明显的解析表达式;同时,第一基本形式按对应关系相同,并不意味着它们的参数已经对应相同,即它们的第一基本形式系数并不总是相等,而只是在对应关系下以变换规律() ,寻求等距曲面之间的等距对应关系可以归结为求解由() 式所给定的