函数项级数.pdf

文档介绍：第十二章函数项级数
§1 函数序列的一致收敛概念
:
q
2 1
(1) fn(x) = x + n2 , x ∈(−∞, +∞);
x
(2) fn(x) = sin n ,
i) x ∈(−l, l), ii) x ∈(−∞, +∞);
nx
(3) fn(x) = 1+nx , x ∈(0, 1);
1
(4) fn(x) = 1+nx ,
i) x ∈[a, +∞), a > 0, ii) x ∈(0, +∞);
2
n2 3 3
(5) fn(x) = x 1 + n x ,
i) x ∈[a, +∞), a > 0, ii) x ∈(0, +∞);
nx
(6) fn(x) = 1+n+x , x ∈[0, 1];
xn
(7) fn(x) = 1+xn ,
i) x ∈[0, b), b < 1, ii) x ∈[0, 1],
iii) x ∈[a, +∞), a > 1;
n 2n
(8) fn(x) = x − x , x ∈[0, 1];
n n+1
(9) fn(x) = x − x , x ∈[0, 1];
x x
(10) fn(x) = n ln n , x ∈(0, 1);
1 −nx
(11) fn(x) = n ln(1 + e ), x ∈(−∞, +∞);
1
−(x−n)2
(12) fn(x) = e ,
i)x ∈[−l, l] ii) x ∈(−∞, +∞).
(x)(n = 1, 2, · · · ) 在[a, b] 上有界,并且{fn(x)} 在[a, b] 上一致收
敛,求证:fn(x) 在[a, b] 上一致有界.
(x) 定义于(a, b) ,令
[nf(x)]
f (x) = (n = 1, 2, · · · ).
n n
求证:{fn(x)}在(a, b) 上一致收敛于f(x) .
(x)在(a, b) 内有连续的导数f 0(x) ,且
1
f (x) = n[f(x + ) − f(x)],
n n
0
求证:在闭区间[α, β](a < α< β< b) 上,{fn(x)}一致收敛于f (x) .
(x)在[a, b] 上黎曼可积,定义函数序列
[nf(x)]
f = (n = 1, 2, · · · ).
n+1 n
求证:{fn(x)}在[a, b] 上一致收敛于零.
6. 问参数α取什么值时,
α−nx
fn(x) = n xe , n = 1, 2, 3 · · ·
R 1
在闭区间[0, 1] 收敛?在闭区间[0, 1] 一致收敛?使 lim fn(x)dx 可在积分
n→∞ 0
号下取极限?
−nx2
(x) = nxe , (n = 1, 2, · · · ) 在闭区间[0, 1] 上收敛,但
Z 1 Z 1
lim fn(x)dx 6= lim fn(x)dx.
0 n→∞ n→∞ 0
8. 设{fn(x)(n = 1, 2, · · · )} 在(−∞, +∞) 一