文档介绍：教案
函数项级数的一致收敛性

1. 教学内容
通过讨论关于函数项级数(函数序列)的无限求和运算(极限运算)是否能
与极限运算,求导运算或积分运算交换次序的问题,提出函数项级数(函数
序列)的一致收敛概念与一致收敛的两个充分必要条件。
2. 指导思想
(1)数学分析与初等函数的根本区别在于引入了极限运算(微分与积分的实质
也是极限运算),极限运算应用到求和运算上就是级数的概念。由于有限求
和运算可以与极限运算,求导运算或积分运算交换次序,所以讨论级数与
极限运算,求导运算或积分运算的交换次序问题就成为级数理论的一个基
本问题。
(2)函数项级数的一致收敛性是数学分析课程教学中的一个难点,也是学生最
难掌握的内容之一。以往的教材往往直接引进函数项级数的一致收敛概念,
然后再讲解一致收敛的函数项级数可以与极限运算,求导运算或积分运算
交换次序,学生往往只能死记硬背概念,不能真正理解它的实质意义,过
后很快容易忘记。我们则在教学中反其道而行之,先讨论一系列具体的函
数项级数例子,指出在点态收敛的情况下,函数项级数不一定可以与极限
运算,求导运算或积分运算交换次序,从而理解为了保证运算的交换,有
必要引进更强的收敛概念,然后再讲解函数项级数的一致收敛概念。
(3)在数学分析课程中,一致收敛概念不仅出现于函数项级数部分,还出现于
含参变量积分部分(它保证了积分运算与其他运算的可交换性),可以说,
一致收敛性是数学分析,乃至整个分析学中最重要的概念之一,是学好如
泛函分析,偏微分方程等后继课程的必备基础。因此在函数项级数部分第
一次出现一致收敛概念时,必须将问题的背景,引人一致收敛概念的意义
讲清楚,使学生从本质上理解它,做到终身不忘。
3. 教学安排
(1)函数项级数与函数序列收敛性的等价性:
∞
给定函数项级数(收敛域为集合),设它的部分和函数序列为:
∑ n xu )( D Sn(x)
n=1
n
, ∈,
Sn(x) = ∑ k xu )( x E
k =1
∞
则函数序列的收敛域也是集合,且极限函数就是的和函数:
{Sn(x)} D ∑ n xu )( S(x)
n=1
S(x) = lim Sn(x), x∈D 。
n ∞→
反过来,给定一个函数序列{Sn(x)},只要令 u1(x) = S1(x), un + 1(x) = Sn+ 1(x)
∞
- , , ,就可得到函数项级数,它的部分和函数序列就
Sn(x) (n = 1 2 ...) ∑ n xu )(
n=1
是给定的{Sn(x)},而它的收敛性与{Sn(x)}的收敛性是相同的。
∞
由于上述函数项级数与函数序列的收敛性在本质上是完全相
∑ n xu )( {Sn(x)}
n=1
同的,在研究函数项级数的性质时,可以先讨论函数序列的性质,而所得到的结
论对相应的函数项级数也是自然成立的。
(2) 函数项级数(或函数序列)的基本问题:
如果函数un (x)(或Sn(x))具有某种分析性质(例如连续性,可导性或Riemann
可积性),那末其和函数(或极限函数)是否