Ch 11 函数项级数、幂级数.pdf

文档介绍：Ch 11 函数项级数、幂级数
计划课时: 1 2 时
P 156—170
2005. .


Ch 11 函数项级数、幂级数( 1 2 时)
§ 1 函数项级数的一致收敛性( 6 时)
一、函数列及极限函数:对定义在区间 I 上的函数列 n xf )}({ ,介绍
概念:收敛点,收敛域( 注意定义域与收敛域的区别),极限函数等概
念.
逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“ε− N ”定义.
n
例1 对定义在( ∞−, + ∞) 内的等比函数列 n xf )( = x , 用“ε− N ”
定义验证其收敛域为( −1 , 1 ] , 且
n ⎧ 0 , x || < 1 ,
lim n xf )( = lim x = ⎨
n ∞→ n ∞→⎩ 1 , x = 1 .
sin nx
例 2 xf )( = . 用“ε− N ”定义验证在( −∞, + ∞) 内
n n
lim n xf )( = 0 .
n ∞→
例 3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ( n →∞) .
− nn −xx
⑴ xf )( = . xf )( → x,sgn x ∈ R .
n + nn −xx n
1
n+12
⑵ n xf )( = x . n xf )( → x,sgn x ∈ R .
⑶设 21 rrr n ,,,,
为区间[ 0 , 1 ] 上的全体有理数所成数列. 令
⎧1 , = 21
rrrx n ,,,,
n xf )( = ⎨ n xf )( → xD )( ,
⎩0 , x ∈[ 0 , 1 ] 且≠ 21
rrrx n .,,,
x ∈[ 0 , 1 ] .
2 − xn 22
⑷ n xf )( = 2 xen . n xf )( → 0 , x ∈ R .
⎧ 1
n x,4 0 x <≤,
⎪ 2n
⎪
⎪ 1 1
⑸+1 nn
n xf )( = ⎨−,42 n xx <≤ n−1 ,
⎪ 2 2
⎪ 1
, 0 , x ≤≤ 1 .
⎪ n−1
⎩ 2
1
有 xf )( → 0 , x ∈[ 0 , 1 ] , ( n ∞→) . ( 注意 n dxxf ≡ 1)( .)
n ∫0
二. 函数列的一致收敛性:
问题: 若在数集 D 上 n xf )( → xf )( , ( n →∞) . 试问: 通项 n xf )( 的
解析性质是否必遗传给极限函数 xf )( ? 答案是否定的. 上述例 1、例
3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明
虽然可积性得到遗传, 但
1
1
lim n ≠( n )(lim)( )dxxfdxxf .
n ∞→∫∫0 n ∞→
0
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初
等函数的一种手段. 对这种函数, lim n xf )( ,由通
n ∞→
项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在
什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就
是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”
的结果.
定义( 一致收敛)

一致收敛的几何意义.
Th1 (一致收敛的 Cauchy 准则) 函数列 f n }{ 在数集 D 上一致收
敛, ⇔ε 0 , ∃>∀ N , ∀, > Nnm , ⇒ ff nm <−ε. ( 介绍
156
另一种形式+ ff npn <−ε.)
证⇒) ( 利用式 mnm n −+−≤− ffffff . )
⇐) 易见逐点收敛. 设 lim n xf )( = xf )( ,……,有
n ∞→
ε
xfxf |)()(| <−.
m n 2
ε
令 m ∞→, ⇒ xfxf |)()(| <≤−ε对∀ x ∈ D 成立, 即
n 2
xf )( ⎯⎯→ xf )( , ( n →∞) , x ∈D.
n ⎯⎯→
系 1 在 D 上 f ⎯⎯→ f , ( n ∞→) ,⇔− xfxf = 0|)()(|suplim .
n ⎯⎯→ n
n ∞→ D
系2 设在数集 D 上 n xf )( → xf )( , ( n →∞) . 若存在数列
xn }{ ⊂ D , 使 nn − xfxf n |)()(| →/ 0 , 则函数列 n xf )}({ 在数集 D 上