文档介绍：第五章
欧氏空间
§5. 空间曲面和空间曲线
由上节知,空间平面对应于一个三元一次方程:
反之,任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面.
(1)
一、空间曲面及其方程
空间平面
三元一次方程
在直角坐标系下
设有空间曲面 S 及三元方程 F (x, y, z) = 0. 如果
1. 曲面方程的概念
F (x, y, z) = 0 的任一解(x, y, z) 对应的空间点(x, y, z) 也在 S 上.
S 上任一点 M(x, y, z) 的坐标 x, y, z 都满足方程 F (x, y, z) = 0;
则称F(x, y, z)=0为 S 的方程. 而 S 则称为 F (x, y, z)=0的几何图形.
空间中与定点 M0 的距离恒为 R 的点的全体构成的几何图形称为球面. 定点 M0 为球面的中心,R 称为球面的半径.
设球面上任一点 M 的坐标为( x, y, z ) 则 M 到球心M0的距离为R,
即| M0M |=R.
故
(2)
为中心在 M0 半径为 R 的球面方程.
•
M0
R
0
x
y
z
M
特例: x0 = y0 = z0 = 0. 则(2)变为
x2+y2+z2 = R2.
(3)
(3)表示中心在原点,半径为R的球面方程.
2. 旋转曲面
以一条平面曲线绕平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫旋转曲面.
旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和轴.
设 yz 平面上曲线 C 的方程为 f (y, z)= 0. 将曲线绕 z M(x, y, z),
x
y
f (y, z)=0
z
M1
M
M2
于 M 作垂直于 z 轴的平面, 它与曲线 C 交于 M1 ( 0, y1, z), 与 z 轴交于 M2 (0, 0, z).
因为M1 (0, y1, z)在 C 上, 所以 f (y1, z)=0
由旋转性| M1M2 | = | MM2 |
即
代入 f (y1, z) = 0 得
x
y
f (y, z)=0
z
M1
M
M2
其它情形
xy平面曲线 f (x, y)=0绕 x 轴旋转所成旋转面之方程:
yz平面曲线 f (y, z)=0绕 y 轴旋转所成旋转面之方程: