文档介绍：欧氏空间定义及性质
一引入概念
二基本性质
三向量长度
四向量夹角
五向量距离
一概念引入
物理学上力F所做之功:
W=SFcosθ F
空间解析中, 矢量的数
量积一般表示:ξ,η∈V3 Fcosθ
1) ξ,η均不为0:ξη=|ξ||η|cos<ξz,η>∈R;
2) ξ或η为0:规定ξη=0.
→由数量积最本质的属性出发,采用公理化方法在线性空间
中引入内积概念,从而建立欧几里德几何的基本特征.
Θ
公理1称为对称性,公理2,3合称为线性性,公理4称为恒正性. 对称性,线性性和恒正性正是数量积(如功)的基本属性.
在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念,这均为几何空间的特征,是以欧氏几何为基础的,故称为欧氏空间.
定义1 V是R上的线性空间,V上定义二元实值函数,称为
内积,是指对任意的α,β,γ∈V,对任意的k∈R, 存在唯
一的(α,β)∈R, 使得
1) (α,β) = (β,α); 2) (kα,β) = k(α,β)
3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ)
4) (α,α)≥0 ,并且α= 0 当且仅当(αα) = 0
这时,称V是欧几里德空间.
例1 Rn中,对任意的ξ= (x1, ···, xn), η= (y1,···, yn )∈Rn, 规定(ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn , 则Rn 对此构成欧式空间.
证明:显然(ξ,η)∈R, 且具唯一性.
对任意的ξ,η,ζ∈Rn, k∈R,
1) (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn = y1x1 + ··· + ynxn = (η,ξ).
2) (kξ,η) = kx1y1 + ··· +k xnyn = k(x1y1 + ··· + xnyn)
= k (ξ,η) .
3) (ξ+η, ζ) = (x1+ y1)z1 + ··· + (xn+yn)zn = (x1z1+ ··· + xnzn ) + (y1z1 + ··· + ynzn ) = (ξ,ζ) + (η,ζ).
4) (ξ,ξ) = x12 + ··· + xn2≥0 . 而ξ= 0 当且仅当
x1 = x2 = ··· = xn = 0 当且仅当(ξ,ξ) = x12 + ··· + xn2 = 0.
故 Rn 关于(ξ,η) 构成一个欧氏空间. □
例2 C(a, b) = {定义在[a, b]上的实值连续函数}关于如下规定的二元函数构成R上的欧氏空间.
对任意的f(x), g(x)∈C(a, b),
证明分析: 根据定积分的性质,易证欧氏空间定义中 4条公理成立,故C(a, b)关于(f, g)构成欧氏空间. 注: R[x], R[x]n 关于如上 定义的(f, g)也构成欧氏空间.
a f(x) b
二基本性质
5) (α, kβ) = k(α, β)
(α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) .
6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ)
(α,β+γ) = (β+γ,α) = (β,α) + (γ,α)
= (α,β) + (α,γ) .
7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的α∈V )
(0,α) = (0·0,α) = 0 (0,α) = 0 = (α,0) .
8) 对任意的β∈V,(αβ) = 0, 则α= 0
取β=α, 则(αα) = 0, 据公理4得α= 0 .
9)
三向量长度
四向量夹角
为在V中引入夹角概念,先研究如下性质:
12) (α,β)2 ≤(αα)(ββ) ( 或|(α,β)|≤|α||β| )
其中等号成立当且仅当α,β线性相关.
该不等式称为柯西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式.
柯西: 法国数学家(1789-1857年)
其主要贡献在微积分,复变函数和
微分方程方面,许多定理和公式均
以他的名字命名.
布涅柯夫斯基是俄国数学家,施
瓦茨是德国数学家,他们各自都发
现如上结论,故历史上一般称为柯
西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式. 柯西