文档介绍：数学物理方程讲义数学物理方程讲义(电子版)
MathematicalMathematical PhysicsPhysics EquationsEquations
北方交通大学理学院北方交通大学理学院黄晓鸣黄晓鸣 -
******@bjtu.
Tel. (010) 51682052
第一章一些典型方程和
定解条件的推导
1. 基本方程的建立
2. 初始条件与边界条件
3. 定解问题的提法
第一章一些典型方程和定解条件的推导
上一讲主要内容复习(1):
•数学物理方程的建立过程
(例如,微小弧段、微小体积等等)。
,建立关于微元素的方程式。
,引入微分或导数。
,即得所需要的方程。
第一章一些典型方程和定解条件的推导
上一讲主要内容复习(2):
•几个典型的数理方程
一维波动方程(弦振动方程)
∂∂22uu
=++afxt2 (,)
∂∂tx22
二维波动方程(薄模振动方程)
222
∂∂∂uuu2 ⎛⎞
222=+++af⎜⎟(,xy ,)t
∂∂∂txy⎝⎠
第一章一些典型方程和定解条件的推导
上一讲主要内容复习(3):
•几个典型的数理方程
三维热传导方程
222
∂∂∂∂u2 ⎛⎞ uuu
=+++af⎜⎟222 (,xy ,,)zt
∂∂∂∂txyz⎝⎠
一维、二维热传导方程
……
第一章一些典型方程和定解条件的推导

初始条件:用以说明物理现象初始状态的条件。
边界条件:用以说明边界上的约束情况的条件。
例如:
(1) 弦振动问题的初始条件:
ϕ
⎧ t=0 = xtxu )(|),( ϕ
⎪⎧= xxu )()0,(
⎨∂ txu ),( 或⎨
=ψ x)(| ⎩ t =ψ xxu )()0,(
⎩⎪∂t t=0
热传导问题的初始条件: ux(,y ,,)zt|t=0 = ϕ(, xy ,)z
初始条件与边界条件(续)
(2) 弦振动问题的边界条件:
固定端点的情形:
txu =ax = 0|),( 或写成 tau = 0),(
自由端点的情形:
∂u ∂u
T |0= 或|0= 或 tau = 0),(
∂x xa= ∂x xa= x
初始条件与边界条件(续)
弹性支撑端的情形:
根据 Hook 定律,此时弦在 x=a 处沿位移方向的张
力为
∂u
Tk||=− u
∂x xa= xa=
或写成
⎛⎞∂u
⎜⎟+ σ u |0xa= =
⎝⎠∂x
这里σ=k/T,k为弹性系数。
初始条件与边界条件(续)
(3) 热传导方程的边界条件:
物体的边界 S 温度已知函数 f(x,y,z,t) :
|S = fu
物体与周围介质无热量交换:
∂u
| = 0
∂n S
物体的内部通过其边界 S 与周围介质进行热量交
换:
初始条件与边界条件(续)
在 S 上任取一小块 dS,用 u1 表示与物体接触处的
介质温度,dQ 表示 dt 时间内流过的热量,根据热
传导实验定律,我们有
= 1 − 1 )( dSdtuukdQ
这里k1为两个介质之间的热交换系数。
在物体内部任取一个无限贴近与边界S 的封闭曲面
Γ,由于在S 内侧热量不能积累,所以在Γ上的热
量流速应该等于边界S 上的热量流速。而在Γ上的
热量流速为
dQ ∂u
−= k ||
dSdt Γ∂n Γ