数学物理方程-第1讲（1.1-1.1）.pdf

文档介绍：数学物理方程讲义数学物理方程讲义(电子版)
MathematicalMathematical PhysicsPhysics EquationsEquations
北方交通大学理学院北方交通大学理学院黄晓鸣黄晓鸣 -
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第一章一些典型方程和
定解条件的推导
1. 基本方程的建立
2. 初始条件与边界条件
3. 定解问题的提法
第一章一些典型方程和定解条件的推导
基本方程的建立(续)
例1. 弦的振动
假设有一根均匀柔软的细弦,平衡时沿直线方
向拉紧,只受弦本身的张力和重力影响。如下
图所示,我们研究弦作微小横向运动时,弦上
各点的运动规律。
基本方程的建立(续)
1. 基本方程的建立(续)
例1解:
建立如上图所示的坐标系,并以u(x,t)表示弦上
各点在时刻t沿垂至于x方向的位移。
在弦上取微小弧段,其长度为
2
⎡⎤∂uxt(,)
ds =+1 dx
⎣⎦⎢⎥∂x
∂u
由假设,弦仅在平衡位置作微小横振动,因此
2 ∂x
很小, ⎡∂ u ⎤与1相比可以忽略不计,从而ds≈ dx 。
⎢⎥
∂x ⎦⎣
基本方程的建立(续)
1. 基本方程的建立(续)
弦的受力情况分析:
水平方向
张力: T α,- T cos'cos' α
垂直方向
张力: T α,- T sin'sin' α
重力: ρgds
上式中ρ是弦的线密度,因此,小弧段的质量为ρds 。
基本方程的建立(续)
1. 基本方程的建立(续)
根据牛顿第二定律,当弦段不受外力作用时,我们有
水平方向
T α- T α=0cos'cos' ()
垂直方向
∂uxt2 (,)
TTgdsds'sinααρρ'-- sin ≈()
∂t 2
基本方程的建立(续)
1. 基本方程的建立(续)
注意到,
1
cos α= ≈ 1
2
⎡∂( txu ), ⎤
1+
⎣⎢∂x ⎦⎥
类似也有
1
α'cos = ≈ 1
2
⎡Δ+∂ txxu ),( ⎤
1+
⎣⎢∂x ⎦⎥
基本方程的建立(续)
1. 基本方程的建立(续)
同理还有
∂( txu ),
∂( txu ),
sin α= ∂x ≈
2
⎡∂( txu ), ⎤∂x
1+
⎣⎢∂x ⎦⎥
类似也有
∂(+ux dxt,)
sinα' ≈
∂x
基本方程的建立(续)
1. 基本方程的建立(续)
于是前面的方程()和()又可以分别改写为:
−TT ≈ 0'
和
⎡⎤∂∂(+ux dxt,) (uxt ,) ∂u(2 xt,)
T - ≈+ρρgdx dx
⎣⎦⎢⎥∂∂xx ∂ t2 教材 Page 3
中部,错误,
利用偏导数和偏微分的关系,上式左端方括号可以用偏微分近请更正!
似代替,我们有:
∂∂∂(+ux dxt,) (uxt ,) ⎡⎤∂∂( uxt,) u(2 xt,)
- ≈=dx
∂∂∂∂∂xxxxx⎣⎦⎢⎥ 2
基本方程的建立(续)
1. 基本方程的建立(续)
于是上面等式又可以进一步改写成:
⎡∂(2 txu ), ⎤∂(2 txu ),
T ⎢ 2 ⎥ gdxdx +≈ρρ 2 dx
⎣∂x ⎦∂t
或写成:
⎡⎤∂∂uxt((22,) uxt,)
T ⎢⎥22−≈ρρg dx dx
⎣⎦∂∂xt