数学物理方程-第3讲（2.1-2.1）.pdf

文档介绍：数学物理方程讲义数学物理方程讲义(电子版)
MathematicalMathematical PhysicsPhysics EquationsEquations
北方交通大学理学院北方交通大学理学院黄晓鸣黄晓鸣 -
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第二章分离变量法
1. 有界弦的自由振动
2. 有限长杆上的热传导
3. 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
4. 非齐次方程的解法
5. 非齐次边界条件的解法
6*.关于二阶常微分方程固有值问题的
一些结论
第二章分离变量法
有界弦的自由振动
考虑两端固定的弦的自由振动问题:
⎧∂∂22uu
=<<>axlt2 ,,00()
⎪∂∂tx22
⎪
()
⎨uu|0,|0xx==0 ==l
⎪∂u
⎪ux|(),|()tt==00==ϕψ x ()
⎪⎩∂t
有界弦的自由振动(续)
物理模型的启示:乐器发出的声音可以分解为各种
不同频率的单音,每种单音振动时形成正弦曲线,
其振幅依赖于时间t,每个单音可以表示成
uxt(,)= At ()sinω x
由此启发,我们试求方程()的具有如下可以分
离变量的形式的非零解
uxt(,)= X () xTt ()
我们有
∂∂22uu
==XxTt"( ) ( ), XxTt( ) "( )
∂x 22∂t
有界弦的自由振动(续)
代入方程(),有
X ()xT "() t= a2 X "()() xT t
或者写成 Xx"( ) Tt "( )
=
Xx() aT2 () t
可以令 Xx"( ) Tt "( )
= =−λ
Xx() aT2 () t
于是得到两个常微分方程
Tt"( )+ λ aTt2 ( )= 0 ()
()
Xx"( )+ λ Xx ( )= 0
有界弦的自由振动(续)
再利用边界条件(),又有
XTt(0) ( )= 0
XlTt() ()= 0
由于T(t) 不恒为零,因此必然有 XXl(0)= ( )= 0。
于是,为了求解原来定解问题分离变量形式的解,
我们就必须首先求解以下常微分方程的边值问题:
⎧ Xx"( )+ λ Xx ( )= 0 ()
⎨
⎩ XXl(0)== ( ) 0 ()
有界弦的自由振动(续)
我们称上面常微分方程的边值问题为我们称上面常微分方程的边值问题为特特
征值问题征值问题,式中的待定常数λ为该问题,式中的待定常数λ为该问题
的的特征值特征值,而对应于此特征值的方程的,而对应于此特征值的方程的
非零解非零解 X(x)X(x) 称为方程的称为方程的特征函数特征函数。。
方程的解(特征函数)将随着λ<0,方程的解(特征函数)将随着λ<0,
λ>0,λ>0, λ=0λ=0 这三种不同的取值情况而这三种不同的取值情况而
具有不同的形式。具有不同的形式。
有界弦的自由振动(续)
下面,针对λ<0 、λ= 0和λ> 0三种情况进行讨论:
(1)λ<0
根据常微分方程的知识,此时方程是
Xx"( )+ λ Xx ( )= 0
的解为 X() x=+ Ae−−λ XX Be −λ
再由边界条件 XXl(0)= ( )= 0
可得
⎪⎧ AB+=0
⎨−−λλll−
⎩⎪ Ae+ Be = 0
有界弦的自由振动(续)
由上面方程组可得A=B=0,进而有X(x)=0,这与X
是非零解的要求不符,因此λ不能小于 0。
(2)λ=0
此时原方程变为
Xx"( )= 0
它的解是 X ()xAxB= +
再由边界条件 XXl(0)= ( )= 0
可得
⎧ AB+=0
⎨
⎩ Al+ B = 0
有界弦的自由振动(续)
同样可得A=B=0,进而有X(x)=0,这也与X 是非零
解的要求不符,因此λ也不能等于 0。
(3)λ>0
令λ=β2 ,此时原方程变为
Xx"( )+ β 2 Xx ( )= 0
根据常微分方程的知识,它的解是
Xx()= A cosβ x+ B sinβ x