数学物理方程-第4讲（2.2-2.3）.pdf

文档介绍：数学物理方程讲义数学物理方程讲义(电子版)
MathematicalMathematical PhysicsPhysics EquationsEquations
北方交通大学理学院北方交通大学理学院黄晓鸣黄晓鸣 -
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第二章分离变量法
1. 有界弦的自由振动
2. 有限长杆上的热传导
3. 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
4. 非齐次方程的解法
5. 非齐次边界条件的解法
6*.关于二阶常微分方程固有值问题的
一些结论
有限长杆上的热传导(续)
上次课内容复习:
1. 用分离变量法求解定解问题的步骤:
1. 分离变量;
2. 解常微分方程特征值问题;
3. 求出特征函数(特征解);
4. 特征解迭加;
5. 确定迭加系数(傅立叶系数);
有限长杆上的热传导(续)
上次课内容小结:
2. 重要概念和方法:
1. 方程的特征值及其求法(利用边界条件);
2. 特征函数的确定;
3. 确定傅立叶系数(利用初始条件);
第二章分离变量法
有限长杆上的热传导
考虑一维热传导问题:
⎧∂∂uu2
2 ,,
⎪=<<>axlt2 00
⎪∂t ∂x
⎪∂u
⎨uh|0,()|0xx==0 =+∂x ul =
⎪ux|()= ϕ
⎪ t = 0
⎩⎪
有限长杆上的热传导(续)
仍然假设方程()的具有如下可以分离变量的
形式的非零解
uxt(,)= X () xTt ()
我们有
∂∂2 uu
==X "(xT ) ( t ), X ( xT ) '( t )
∂ x 2 ∂ t
代入方程(),有
X ()xT '() t= a2 X "()() xT t
或者写成
Xx"( ) Tt '( )
=
Xx() aT2 () t
有限长杆上的热传导(续)
可以令
Xx"( ) Tt '( )
= =−λ
Xx() aT2 () t
于是得到两个常微分方程
Tt'( )+ λ aTt2 ( )= 0
Xx"( )+ λ Xx ( )= 0
类似于上一节的讨论,再利用边界条件(),又
有λ>0 ,于是可令λ=β2 ,这样就得到两个常微分
方程
Tt'( ) + β 22 aTt( )= 0
Xx"( )2 Xx ( ) 0
+ β=
有限长杆上的热传导(续)
上面第二方程的解是
Xx()= A cosβ x+ B sinβ x
由边界条件,得
XX(0)= 0, '()lh+=X ()l 0
分别有
A = 0
ββcoslh+ β sin l= 0
把第二式改写成
ββl
tan β ll=−hhl =−=αβ
1
其中α=−hl ,再记γβ= l, 则上式变成
tan γ= αγ()
有限长杆上的热传导(续)
我们的目标是求出特征值λ,也就是要求出β,方
程()可以看作曲线y=taneγ和直线y=αγ的交
点的横坐标,如下图所示:
y = αγ y = tan γ
有限长杆上的热传导(续)
假设交点横坐标是
γ 1,γγ 2 , 3, γ...,n ...
γγ
对应的特征值是
12γγ3 n
ββ12===lll, , β 3 β,...,n = l ,...
相应的特征函数是
X nnn()xB= sinβ x
再利用方程
Tt'( )+ λ aTt2 ( )= 0