文档介绍：第三章连续函数
§连续和间断
定义 f (x) 定义在(a,b) , x0 Î (a,b) , 若 lim f (x) ® f (x0 ) ,则称函数 f (x) 在
x®x0
点 x0 连续, x0 称为连续点,否则称 x0 为间断点。
函数 f (x) 在 x0 Î (a,b) 连续也可用ε­δ语言来叙述:f (x) 定义于(a,b) ,x0 Î (a,b) ,
若"ε> 0 , $δ> 0 , 使得当 x Î (a,b) 且 x ­ x0 < δ时,有
f (x) ­ f (x0) < ε,
则称 f (x) 在点 x0 连续。
等价地也可表述为 lim f (x) ® f (x0 ­0) , lim f (x) ® f (x0 +0) 且
x®x0 ­0 x®x0 +0
f (x0 ­0) = f (x0 ) = f (x0 + 0) ,
即如果 f (x) 在 x0 左右极限都存在,且等于该点函数值,称 f (x) 在该点连续。
间断点可分为三类
定义(1)若函数在 x0 点左右极限存在且相等,但不等于该点的函数值,则称 x0 为可
去间断点。
()若函数在 x0 点左右极限存在,但不相等,称 x0 为第一类间断点。
(3)若函数在 x0 点的左右极限至少有一个不存在,称 x0 为第二类间断点。
在可去间断点 x0 上,我们修改 f (x) 在 x0 定
义, f (x0 ) = f (x0 ­ 0) = f (x0 + 0) ,则它就变
成在 x0 连续的函数了,这就是“可去”的意思。
这不是本质间断的。另两类间断点才是本质的。可去间断点
可去间断点
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y=sin(1/x)
f(x +0)
0
f(x )
f(x -0)
0
第一类间断点第二类间断点
例
ìx , x为有理数,
(ⅰ) f (x) = í x = 0 是连续点,其余都是第二类间断点。
î0, x为无理数。
ì2, x =1
(ⅱ) f (x) = í x =1是可去间断点。
î1, x ¹1
ì 1
ïarctg , x ¹ 0,
(ⅲ) f (x) = í x x = 0 是第一类间断点。
îï 0 , x = 0.
ì 1
ï , x ¹ 0,
(ⅳ) f (x) = í x x = 0 是第二类间断点。
îï 0 , x = 0.
ì 1
ïsin , x ¹ 0,
(ⅴ) f (x) = í x x = 0 是第二类间断点。
îï 0 , x = 0.
ì 1, x为有理数,
(ⅵ) Dirichlet 函数 D(x) = í 每一点都是第二类间断点。
î 0, x为无理数。
ì 1 p
ï , x = 为有理数,
(ⅶ) Riemann 函数 R(x) = í q q 所有有理点为可去
ï
î 0, x为无理数。
间断点,无理点为连续点。
定义若 f (x) 在区间上每一点连续(闭区间情况端点单侧连续), 则称函数在区间上
连续。
定理 f (x) 在(a,b) 上单调,则 f (x) 只有第一类间断点。
证无妨设 f (x) 在(a,b) 单调上升," x0 Î (a,b) ,当 x ® x0 ­0 时,函数值 f (x) 单
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调上升,有上界 f (x0 ) ,所以极限存在,且 lim f (x) = f (x0 ­ 0) £ f (x0 ) 。
x®x0 ­0
同理 lim f (x) = f (x0 + 0) ³ f (x0 ) 。
x®x0 +0
若 f (x0 ­ 0) = f (x0 + 0) , x0 为 f (x) 连续点,若 f (x0 ­ 0) < f (x0 + 0) , x0 为第一
类间断点。
连续函数是一类“比较好”的函数,是研究微积分的基础。
x
0 a b
微分或导数是求曲线 f (x) 在 x0 点切线的斜率,函数在 x0 连续,是切线存在的必要条
件。积分是求区间[a,b] 上曲线 f (x) 下面的一块曲边梯形的面积,函数 f (x) 在[a,b] 上连
续,是面积存在的充分条件,连续不是可微的充要条件,也不是可积的充要条件,是介乎中
间的一类函数,其直观意义是“不间断”,即不被剪开,也不被振断。
§连续函数的性质
1. 定理 1 f (x) 定义在 U(x0 ) 上,在 x0 点连续,