第十三章 函数项级数.doc

文档介绍：第十三章函数项级数
1 函数序列的一致收敛概念
:
⑴,
⑵
i) ii)
⑶
⑷
i) ii)
⑸
i) ii)
⑹
⑺
i) ii)
iii)
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
i) ii)
,并且在上一致收敛,
求证:在上一致有界.
,令
.
求证:在上一致收敛于.
,且
求证:在闭区间上,一致收敛于.
,定义函数序列

求证:在上一致收敛于零.
参数取什么值时,

在闭区间收敛?在闭区间一致收敛?使可在积分号下取极限?
,但
,且在一致收敛于. 求证:在上一致连续.
,且在一致收敛于;
又,满足,求证
,且
.
证明:和存在且相等,即
.
,且在一致收敛于,
证明:在黎曼可积.
2 函数项级数的一致收敛性及其判别法
(绝对的和条件的):
⑴
⑵
⑶
⑷
:
⑴
⑵.
:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
,但对任何并非绝对收敛;而级数虽在上绝对收敛,但并不一致收敛.
,如果在的端点为绝对收敛,那么这级数在上一致收敛.
,证明在上也一致收敛且绝对收敛.
3 和函数的分析性质
研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
,并有连续导函数.
:
⑴在上连续;
⑵在内无穷次可微.
.
,在上连续,
求证:
⑴在上一致收敛;
⑵在上连续.
,证明
.
证明
当时成立,从而证明
.
用有限覆盖定理证明迪尼定理.
,即,且试讨论函数

在中的连续性.