文档介绍：第十六章多元函数的极限与连续
§2二元函数的极限
§3二元函数的连续性
§1 平面点集与多元函数
第十六章多元函数的极限与连续
§1 平面点集与多元函数
一、平面点集
1. 邻域:
以点 X0 = (x0, y0)为中心, 以为半径的圆内部点的全体称为 X0 的邻域.
即
记Û (X0, ) = U (X0, ) { X0 }, 称为 X0 的去心邻域.
如图
X0
X0
U (X0, )
Û (X0, )
当不关心邻域半径时, 简记为U (X0 )和Û (X0).
2. 内点:
设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)E, 若存在邻域 U(X0 , ) E , 则称 X0 为 E 的内点.
E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记为E0.
D = {(x, y)| x2 + y2 1 }
如图
x
y
o
x2 + y2 = 1
1
1
D
易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但圆周上的点不是 D 的内点.
x + y = 0
x
y
0
如图
D
又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0}
易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D=D,
但直线上的点不是D的内点.
3. 边界点:
设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面上一个点. 若 X0的任何邻域 U(X0 , )内既有属于 E 的点, 又有不属于 E的点, 则称 X0 为 E 的边界点.
E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界. 记作E.
如, 例1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图
x
y
o
1
1
x2 + y2 = 1
D
x + y = 0
x
y
o
E 的边界点可以是 E 中的点, 也可以不是 E 中的点.
D
4. 开集
设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点.
即 E E0, 则称 E 是一个开集.
由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0
故也可说,
比如, 例1中 D 是开集, (D = D0 ), 而例2中 D 不是开集.
若E = E0 , 则称 E 是一个开集.
规定, , R2为开集.