文档介绍：§2 Fourier级数的收敛判别法
Dirichlet 积分
仔细观察上一节中的几幅图象后可以得到这样的直觉:对于一般
的以 2π为周期的函数 fx(),除了个别点之外(看来是不连续点),当
m →∞时,它的 Fourier 级数的部分和函数序列{ m xS )( },
a m
0 ,
Sxmnn()=+∑( a cos nxb + sin) nx
2 n=1
是收敛于 fx()的。下面从理论上来探讨这个问题。
将 Euler-Fourier 公式
1 π 1 π
π
an = cos)( dtnttf , bn = sin)( dtnttf
π∫−ππ∫−π
π
代入 Sxm (),
m
1 π 1 ⎡⎛⎞⎛π⎞⎤
Sxm ()= )( dttf + ⎜ cos)( ⎟cos + ⎜⎟sinsin)( nxdtnttfnxdtnttf
∫−∑⎢∫−∫−⎥
2πππ n=1 ⎣⎝⎠⎝π⎠⎦
1 π⎡1 m ⎤
= tf )( + + )sinsincos(cos dtnxntnxnt
∫−⎢∑⎥
ππ⎣2 n=1 ⎦
1 π⎡1 m ⎤
= tf )( + −)(cos dtxtn 。
∫−⎢∑⎥
ππ⎣2 n=1 ⎦
将 Euler-Fourier 公式
1 π 1 π
π
an = cos)( dtnttf , bn = sin)( dtnttf
π∫−ππ∫−π
π
代入Sxm (),
m
1 π 1 ⎡⎛⎞⎛π⎞⎤
Sxm ()= )( dttf + ⎜ cos)( ⎟cos + ⎜⎟sinsin)( nxdtnttfnxdtnttf
∫−∑⎢∫−∫−⎥
2πππ n=1 ⎣⎝⎠⎝π⎠⎦
1 π⎡1 m ⎤
= tf )( + + )sinsincos(cos dtnxntnxnt
∫−⎢∑⎥
ππ⎣2 n=1 ⎦
1 π⎡1 m ⎤
= tf )( + −)(cos dtxtn 。
∫−⎢∑⎥
ππ⎣2 n=1 ⎦
当θ≠ 0时,由三角函数的积化和差公式,有
θ m +12
sin
1 m θ
+ cos n = 2 。
2 ∑θ
n=1 sin2
2
当θ= 0 时,将等式右端理解为当θ→ 0时的极限值,则等式依然成立。
因此,上式对任意θ∈−ππ],[ 都是正确的。
于是
m +12
sin − xt )(
1 π 2
Sxm ()= tf )( dt (作代换 t − x = u )
π∫−π− xt
sin2
2
m +12 m +12
sin u sin u
1 π−x 1 π
= + uxf )( 2 du = + uxf )( 2 du 。
π∫−−πx u π∫−π u
sin2 sin2
2 2

这样,就把部分和函数序列转化成了积分形式。这个积分称为
Dirichlet 积分,它是研究 Fourier 级数敛散性的重要工具。
将积分区间−ππ],[ 分成−π]0,[ 和π],0[ ,稍加整理,就得到了
Dirichlet 积分的惯用形式
m +12
sin u
1 π
Sx()= −++ uxfuxf )]()([ 2 du 。
m π∫0 u
sin2
2
由前面的三角函数关系式,有
m +12
sin u
2 ππ⎛ 12 m ⎞
2 du = ⎜+ cos ⎟dunu = 1 ,
π∫0 u π∫0 2 ∑
sin2 ⎝ n=1 ⎠
2
因此,对任意给定的函数πσ x)( ,有
m +12
sin u
1 π 2
m −σ xxS )()( = −−++ σ xuxfuxf )](2)()([ du 。
∫0 u
sin2
2
这样,若记
ϕσ= + + −−σ xuxfuxfxu )(2)()(),( ,
则 fx()的 Fourier 级数是否收敛于某个σ x)( 就等价于极限
m +12
sin u
π
ϕ xu ),(lim 2 du
m ∞→∫0 u
σ sin2
2
是否存在且等于 0。
Riemann 引理及其推论
定理 (Riemann 引理) 设函数ψ x)( 在[,]ab上可积或绝
对可积,则成立
b b
ψ sin)(lim dxpxx = ψ dxpxx = 0cos)(lim 。
p +∞→∫a