文档介绍：章节题目
第八节高阶线性微分方程
内容提要
高阶线性微分方程的形式
高阶线性微分方程解的结构
重点分析
高阶线性微分方程解的结构的几个定理
非齐次线性微分方程解的结构
难点分析
函数线性相关和线性无关的判定
习题布置
3、4(单)
备注
教学内容
一、概念的引入
例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初始速度,物体便离开平衡位置,.
解受力分析

物体自由振动的微分方程
强迫振动的方程
串联电路的振荡方程
二阶线性微分方程
二阶线性齐次微分方程
二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程
二、线性微分方程的解的结构
:
定理1 如果函数与是方程(1)的两个解,那末也是(1)的解.(是常数)
问题:
定义:,使得当在该区间内有恒等式成立
,

例如线性无关
线性相关
特别地: 若在I上有
则函数与在I上线性无关.
定理2:如果与是方程(1)的两个线性无关的特解, 那么就是方程(1)的通解.
例如

:
定理3 设是二阶非齐次线性方程
的一个特解, 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理4 设非齐次方程(2)的右端是几个函数之和, 如
而与分别是方程,

的特解, 那么就是原方程的特解.
三、小结
主要内容
线性方程解的结构;
线性相关与线性无关;
补充内容可观察出一个特解