文档介绍：章节题目
第一节不定积分的概念与性质
内容提要
原函数与不定积分的概念
基本积分表(1)
求微分与求积分的互逆关系
不定积分的性质
重点分析
不定积分的概念
利用基本积分表求不定积分
难点分析
利用基本积分表求不定积分
习题布置
:1(单)、4
备注
教学内容
一、原函数与不定积分的概念
定义:如果在区间内,可导函数的导函数为,即,都有或,那么函数就称为或在区间内原函数.
例:,是的原函数.
,是在区间内的原函数.
原函数存在定理:如果函数在区间内连续,那么在区间内存在可导函数,使,都有.
简言之:连续函数一定有原函数.
问题:(1) 原函数是否唯一?
(2) 若不唯一它们之间有什么联系?
例,(C为任意常数)
关于原函数的说明:
(1)若,则对于任意常数C,都是的原函数.
(2)若和都是的原函数,则(C为任意常数)
证:
(C为任意常数)
不定积分的定义:
在区间内,函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分,记为.
任意常数
积分号
被积函数
被积表达式
积分变量
例1 求
解:
例2 求
解:
例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.
解:设曲线方程为根据题意知
即是的一个原函数.
由曲线通过点(1,2)所求曲线方程为
函数的原函数的图形称为的积分曲线.
显然,求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义,可知

结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、基本积分表
实例
基本积分表
是常数);
说明:

简写为

例4 求积分
解: 根据积分公式(2)

三、不定积分的性质