文档介绍：第四章
微分法:
积分法:
互逆运算
不定积分
二、基本积分表
三、不定积分的性质
一、原函数与不定积分的概念
第一节
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不定积分的概念与性质
第四章
一、原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点,
下沿直线运动,
因此问题转化为:
已知
求
在变力
试求质点的运动速度
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根据牛顿第二定律,
加速度
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
在区间 I 上的一个原函数.
则称 F (x) 为f (x)
如引例中,
的原函数有
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在?
2. 若原函数存在, 它如何表示?
定理1.
存在原函数.
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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定理 2.
原函数都在函数族
( C 为任意常数) 内.
证: 1)
又知
故
即
属于函数族
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即
定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分,
其中
—积分号;
—被积函数;
—被积表达式.
—积分变量;
(P183)
若
则
( C 为任意常数)
C 称为积分常数
不可丢!
例如,
记作
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不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为
的图形
的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
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的积分曲线.
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,
且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
所求曲线过点( 1 , 2 ) ,
故有
因此所求曲线为
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例2. 质点在距地面
处以初速
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上,
质点抛出时刻为
此时质点位置为
初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
(运动速度)
(加速度)
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垂直上抛,
不计阻
先由此求
再由此求
先求
由
知
再求
于是所求运动规律为
由
知
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故