文档介绍：§ 高阶导数
一、高阶导数概念
1定义设y = f (x)在I上可导, 若导函数f '(x)在点x0还可导, 即
存在, 则称其为函数f (x)在点x0的二阶导数, 记为
此时称f (x)在点x0二阶可导.
①二阶导(函)数: 导函数的导数, 即 f "(x) = (f '(x))'
②若f (x)在点x0二阶可导, 则在x0的邻域内f '(x)存在.
③若位移为s(t), 则速度v(t) = s'(t), 加速度a(t) = v'(t) = s"(t).
④一般地, f (x)的n–1阶导数f (n–1)(x)在x0点的导数称为f (x)在点x0的n阶导数, 记为
⑤ n阶导(函)数: (n–1)阶导数的导数, 即f (n)(x) = (f (n–1)(x))'.
⑥高阶导数: 二阶及以上的导数.
为方便, 把 f '(x)和 f (x)分别称为f (x)的一阶和零阶导数.
C(n)(I): 在I上具有n阶连续导数的函数全体.
C()(I): 在I上具有任意阶导数的函数全体.
例1 设y = ,其中a为常数, f 具有二阶导数, 求
2 方程确定的隐函数的二阶导数: 当方程F(x, y) = 0确定的隐函数y = y(x)不能显式化时, 求y"(x)通常有两种方法:
方法一、由隐函数求导法求出y', 再用求导法则对y'关于x求导, 仍把y看成x的函数.
方法二、把y看成x的函数, 对方程两端关于x求导两次, 分别解出y'和y".
例2 设函数y = y(x)由方程y – xey =1确定, 求y"(0).
由商的求导法则
因为y(0) = 1, y'(0) = e, 故y"(0)=2e2.
3 参数方程确定的函数的二阶导数: 设方程x = x(t), y = y(t)确定函数y = y(x), 则对应参数为t的点x处的二阶导数为
⑦常采用递推并加以归纳的方法求函数的高阶导数.
例4 设y = x, 是实数, 求y的各阶导数.
例5 设y = sinx, cosx, 求y(n).
例6 设y = ln(1+x), 求y(n).
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二、高阶导数的Leibniz法则
定理设函数u, v在x处n阶可导, 则uv和uv在x处n阶可导, 且
(i) (u  v)(n) = u(n)  v(n);
上述公式称为高阶导数运算的Leibniz法则, 运用数学
k + Cnk–1 = Cn+1k即可得证明.
⑧记忆: 与Newton二项式公式类比(乘幂次数换成导数阶数)