文档介绍：§ 积分法
一、第一换元法(凑微分法)
定理(不定积分) 若, 而(x) 可导, 则
证由已知有F (u) = f (u), 故
推论(定积分) 若f (x)C(I), F(x)是f (x)的一个原函数, (x) C[a, b], 且 R() I, 则
①凑微分法的关键是把中间变量u = (x)看出来, 一般说来, (x)不容易看出, 有时还有几种可能, 如
这里u = sin x, f (u) = 1– u2, 也可以
这时u = tan x, f (u) = (1+u2)–5/2.
②最常用的u = (x)是u = ax + b, 这时adx =d(ax+b).
③条件、结论常窜起来, 有
④牛—莱公式要求f (x)连续, 故推论中(x)须连续, R() I也是自然的. 避免犯如下错误
解两边对cos x+2积分, 得
例8 设
二、第二换元法
定理(不定积分) 若, 又x = (t), 且(t) 0, 则
证由条件知x = (t)的反函数t = –1(x)存在, 于是
已知上式右端求左端不定积分为第一换元法; 若上式左端已知, 是否可以求右端不定积分呢? 此即下面的第二换元法.