文档介绍：2005 水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦 1006 清华大学理科楼 1101 电话:62781785
基础部分
第一课微积分
第 6 章定积分的概念与计算
定积分的概念与性质
定积分基本概念、方法与主要知识点
* 概念:定积分作为和式的极限,积分中值定理,保序性与估值定理,定积分是一个数。
* 方法:凑微分法,分部积分,回归法,变量替换,区间变换。
* 积分等式与不等式的证明。
定义
定义 6。1 设函数 f (x)在有界闭区间[a,b]上有定义, 且有界, 若:
(1) 任意分割区间[a,b]: 取点列 x , x , , x :
0 1 L n
记, ;
∆xi = xi − xi−1 λ= max ∆xi
i
(2) 任取ξi ∈[xi−1, xi ], 作和式
n
Sn = ∑ f (ξi )∆xi .
i=1
n
(3) 若极限 lim Sn = lim ∑ f (ξi )∆xi = s 存在, 且极限值与区间
λ→0 λ→0 i=1
[a,b]分割的任意性和ξi ∈[xi−1 , xi ]取值的任意性无关, 则称函数 f (x)在
n
区间[a,b]上可积, 该极限值lim Sn = lim ∑ f (ξi )∆xi = s 称为函
λ→0 λ→0 i=1
数 f (x)在区间[a,b]上的积分, 记作
b
I f (a,b) = ∫ a f (x)dx =lim Sn = s
λ→0
a,b 分别称为积分的下、上限, f (x)称为被积函数, x 称为积分中间变量, 定积分的
值与积分中间变量的符号无关,即
b b
∫ a f (x)dx = ∫ a f (t)dt 。
函数的可积性条件
定理 6。1 函数在有界闭区间[a,b]可积的必要条件:,是函数 f (x)在[a,b]上有
界。
水木艾迪考研培训网 - 1 - 清华大学理科楼 1101 电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦 1006 清华大学理科楼 1101 电话:62781785
定理 6。2 函数在有界闭区间[a,b]可积的充分条件(满足下列条件之一即可)
(1) f (x)在区间[a,b]上单调有界;
(2) f (x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点;
(3) f (x)在区间[a,b]上连续.
定积分定义在考研中的应用利用积分和式求特定极限(见后述例题)
定积分的性质及常用结论
b a
(1) ∫ a f (x)dx = −∫ b f (x)dx
(2) 对积分区间的可加性:
b c b
对被
∀c ∈ R, ∫ a f (x)dx = ∫ a f (x)dx + ∫ c f (x)dx
积函数满足线性性:
b b b
∫ a []Af (x) + Bg (x) dx = A∫ a f (x)dx + B ∫ a g (x)dx
保序性(保号性): 若可积函数 f (x) ≥ 0, ∀x ∈[a,b], 则
b
∫ a f (x)dx ≥ 0 。
若可积函数 f (x), g(x) 满足 f (x) ≥ g(x) , 则
b b
∫ a f (x)dx ≥∫ a g(x)dx 。
b
特别,若非负连续函数 f (x)在[a,b]上不恒为零, 则∫ a f (x)dx > 0 。
(3) 若 f (x)在[a,b]上可积, 则 f (x)在[a,b]上也可积, 且
b b
∫ a f (x)dx ≤∫ a f (x) dx
(4) 估值定理: 若可积函数 f (x)在[ a , b ] 上满足 m ≤ f (x) ≤ M , 则
b
m(b − a) ≤∫ a f (x)dx ≤ M (b − a)
进一步, 若函数 g(x) 在[a,b]上非负可积, 则(称为比较性质)
b b b
m∫ a g(x)dx ≤∫ a f (x)g(x)dx ≤ M ∫ a g(x)dx
(5) 积分中值定理: 若函数 f (x)在[a,b]上连续, g(x) 在[a,b]上取定号且
可积, 则∃ξ∈(a,b), 使
水木艾迪考研培训网 - 2 - 清华大学理科楼 1101 电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦 1006 清华大学理科楼 1101 电话:62781785
b b
∫ a f (x)g(x)dx = f (ξ)∫ a g(x)dx
特别, g(x)