文档介绍：第十一章反常积分
教学要点
反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。
教学时数  8学时
教学内容
§1  反常积分的概念  (4学时)
    反常积分的引入,两类反常积分的定义反常积分的计算。
§2  无穷积分的性质与收敛判别  (4学时)
    无穷积分的性质,非负函数反常积分的比较判别法,Cauchy判别法,反常积分的Dirichlet判别法
与Abel判别法。
§3  瑕积分的性质与收敛判别
 瑕积分的性质,绝对收敛,条件收敛,比较法则。
考核要求
掌握反常积分敛散性的定义,奇点,掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子,理解并掌握绝对收敛
和条件收敛的概念,并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别
法,以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。
    
 §1  反常积分概念  
     一  问题的提出
例1(第二宇宙速度问题)在地球表面初值发射火箭,要是火箭克服地球引力,无限远离地球,问初速度至少多大? 
解  设地球半径为,火箭质量为
地面重力加速度为,有万有引力定理,在距地心处火箭受到的引理为
 
 于是火箭上升到距地心处需要做到功为
              
 当时,其极限就是火箭无限远离地球需要作的功
 
 在由能量守恒定律,可求得处速度至少应使
            
 例2 从盛满水开始打开小孔,问需多长时间才能把桶里水全部放完?
 
 
解由物理学知识知道,(在不计摩擦情况下),桶里水位高度为时,水从小孔里流出的速度为
                
设在很短一段时间内,桶里水面降低的高度为,则有下面关系:
                   
由此得   
所以流完一桶水所需的时间应为
 
 但是,被积函数在上是无界函数,,所一我们取
 
 相对于以前学习的定积分(正常积分),我们把这里的积分叫做反常积分