文档介绍：第五章不定积分
§ 原函数
考虑质点沿直线运动,已知位移 s = s(t) ,求即时速度:v(t) = s¢(t) 是求导运算;反过
来,如果知道每个时刻的即时速度 v(t) ,求位移 s(t) ,则是个逆运算,即要找一个函数 s(t) ,
使得 s¢(t) = v(t) 。这个 s(t) 就是 v(t) 的不定积分,也称为原函数。
定义在区间 I 上给定函数 f (x) ,若存在 F(x) 使得 F¢(x) = f (x) , x ÎI 或
dF(x) = f (x)dx ,x ÎI ,则称 F(x) 是 f (x) 的一个原函数,f (x) 的全部原函数称为 f (x)
的不定积分,记作ò f (x)dx , 若 f (x) 存在原函数,称 f (x) 可积。
定理设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数,则
ò f (x)dx = F(x) + C
其中 C 为任意常数。
注我们只要找到 f (x) 的一个原函数,那么它的不定积分就有形式 F(x) + C ,即任二
个原函数之间仅相差一个常数。
证由(F(x) + C)¢ = F¢(x) = f (x) ,即对任何常数 C ,F(x) + C 都是 f (x) 的原函数,
再证它们是全部原函数。设 G(x) 为 f (x) 另一原函数, G¢(x) = f (x) ,那么
¢
[F(x) ­G(x)] = f (x) ­ f (x) = 0 ,我们得到 G(x) = F(x) + C 。
几何上看是明显的,曲线 F(x) +C1和 F(x) + C2 在点 x 有相同切线斜率。
y
F(x)+C2
F(x)+C1
x
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实际问题中,加上某些初值条件(如 F(x0 ) = a )可以把常数 C 确定下来。
不定积分既然是求导逆运算,从求导数的表我们可以导出如下不定积分表,它是我们计
算不定积分的基础,务必牢记。
1
xα dx = x1+α+ C (α¹ ­1)
ò 1+α
dx
= ln | x | +C
ò x
òex dx = e x + C
òcos xdx = sin x + C
òsin xdx = ­cos x + C
dx
= tgx +C
ò cos2 x
dx
= arctgx + C
ò1+ x 2
dx
ò = arcsin x + C
1­ x2
òshx = chx + C
òchx = shx + C
dx
= thx +C
ò ch2 x
dx
ò = Arshx + C = ln ( x + x 2 +1) +C
x2 +1
dx ì Archx +C (x >1)
= ln| x + x 2 ­1 | +C =
ò 2 í
x ­1 î­ Arch(­x) + C (x < ­1)
ìArthx + C (| x |<1)
dx 1 1+ x ï
= ln + C = í 1
ò1­ x 2 2 1­ x Arth +C (| x |> 1)
îï x
性质设 f (x),g(x) 可积,则 f (x) ± g(x) 也可积,且
ò[ f (x) ± g(x)]dx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx 。
性质设 f (x) 可积,则 k f (x) 可积,且
òk f (x)dx = kò f (x)dx (k ¹ 0) 。
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注这两条性质说明不定积分是一种线性运算,即与加法和数乘可交换。
我们只给出性质 1 的证明,另一个可用同样方法证明:令
ò f (x)dx = F(x) + C 或 F¢(x) = f (x)
ò g(x)dx = G(x) +C 或 G¢(x) = f (x)
则[F(x) ± G(x)]¢ = f (x) ± g(x) 。所以ò[ f (x) ± g(x)]dx = F(x) ±G(x) + C 。
§ 换元法
第一换元法
定理如果ò f (u)du = F(u) +C ,又 u = u(x) 是 x 可微函数,则
ò f [u(x)]× u¢(x)dx = F[u(x)] + C 。
证由条件,我们有 dF(u) = f (u)du ,一阶微分有不变性:
dF[u(x)] = f [u(x)]du(x) = f [u(x)]u¢(x)dx ,
所以ò f [u(x)]u¢(x)dx = F[u(x)] + C 。
1