第四章随机变量的数字特征.ppt

文档介绍：,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命如下:
A: 2000 1500 1000 500 1000; B:1500 1500 1000 1000 1000;
(单位:小时),试比较这两批灯泡质量的好坏.
计算得:平均寿命分别为:A:1200,B:1200,
观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,
所以,B产品质量较好.
数学期望
方差
第四章随机变量的数字特征

Ⅰ:(离散型)设离散型随机变量X的分布律为P{x=xn}=pn,n=1,2,...,
若级数绝对收敛,则称该级数的值为X的数学期望或均值,记为
EX=
若
,非绝对收敛,即级数
发散,
则称X的数学期望不存在.
均值
例如:
X -1 0 1 2
P
则
EX=
=-1×+0×+1×+2×=
注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均.
~
规定:使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元;在500到1000小时
之间为次品,产值为10元;在1000到1500小时之间为二等品,产值为
30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求该种产品的平均产值.
分析:平均产值即为产值的数学期望,所以,先求产值的概率分布.
解:设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40,
P{Y=0}=
P{X<500}
=1-e-
P{Y=10} =
P{500≤X<1000}
=e--e-1
类似可得:
P{Y=30}=e-1-e- , P{Y=40}=e-
所以,
EY=0× (1-e-)+10 × (e--e-1 )+30×( e-1-e- )+40× e-
=(元)
定义Ⅱ(连续型):设X是连续型随机变量,X~f(x),若
绝对收敛,则称该积分值为X的数学期望,记为:
EX=
否则,称X的数学期望不存在.
例如:若X服从[a,b]区间上的均匀分布,即X~
则
EX=
数学期望反映了连续型随机变量的平均取值.
:
(1)E(c)=c;
(2)E(aX)=aE(X);
(3)E(X+Y)=EX+EY
(4) 若X与Y是独立的,则E(XY)=EXEY
证明:(2)离散型
X x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ...
aX ax1 ax2 ... axn ...
P p1 p2 ... pn ...
则
E(aX)= ax1 p1+ax2 p2+ ...+axn pn+...
=aE(X)
连续型:X~fX(x),Y=aX,
则,Y~
,不妨设a>0,
EY=
=aEX
令
:
:设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X))存在,则;
(1)若X为离散型,P{X=xn}=pn,n=1,2,...,有
(2)若X为连续型随机变量,X~f(x),则

X 0 1 2
P 1/2 1/4 1/4
求E(X2+2).
(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4
=1+3/4+6/4=13/4
解: E(X2+2)=
思考:
E(ag(X)+b)=aE(g(X))+b
?
(973) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯
于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游
客在早8 点的第X分钟到达底层侯机处,且 X在[0,60]上均匀分
布,求该游客等侯时间的数学期望。
解:由题意得:X~
设Y表示旅客候车时间,
则
Y=g(X)=
0<X≤5,
5<X≤25,
25<X≤55,
55<X≤60.
E(Y)=E(g(X))=
=(分)
5-X
25-X
55-X
65-X
设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在,
(1)若(X,Y)为离散型随机向量,P{X=xi,Y=yj}=pij ,(i,j=1,2…),则
(2)若(X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
(X,Y)~f(x,y)=
求EX,EY,E(X2),E(XY)
解::
=7/6
=5/3
同理由对称性:
=7/6
EY2=5/3
=4/3

X 0 1
P 1-p p
(1)、参数为p的0-1分布:
E