文档介绍：课题: 函数连续性
目的要求:
掌握函数连续的充要条件及应用
初步掌握间断点的分类及示例
掌握闭区间上连续函数的性质及应用
会利用函数连续性求极限
教学重点:
掌握函数连续的充要条件及应用
教学难点:
掌握函数连续的充要条件及应用
教学课时:2
教学方法: 讲练结合
教学内容与步骤:
函数的连续性
从图上可看出, j(x)在x0间断. 但f (x)在x0连续. j(x)在x0的极限不存在, 而
定义1. 设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义. 且则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点. 否则称f (x)在x0间断, x0称为f (x)的间断点, 或称为不连续点.
因为::余弦函数在任何点x0处连续
连续的d-e 语言描述:若对"e >0, $d>0,使得当|x-x0|<d时, 对应的函数值f (x)满足| f (x) - f
(x0) |<e,则称f (x)在x0处连续.
注: 与极限定义比较, 将"a"换成" f (x0)"
证:,,
又因为f (0)=:
处连续
定义:设f (x)在x0的某右邻域(某左邻域)内有定义,
若,则称函数在处右连续,
若,则称函数在处左连续.
定理1. f (x)在x0处连续Û f (x)在x0左连续且右连续.
上例证明:=f(0),=f(0),
处连续
注:判断x0处连续的步骤:1,x0处是否有定义,2,左右极限是否存在,3,左右极限是否相等,4,极限值是否等于函数值. 到某一步不成立时,不执行下一步骤。
在区间内连续:如果在区间内每一点都是连续的,就称在区间内连续,记作 f (x)ÎC(a, b).若在内连续,在处右连续,在处左连续,则称在上连续,记作 f (x)ÎC[a, b]. 连续函数的图形是一条连续不断的曲线.
f (x)在x0处连续的增量描述:
函数的增量设函数在点的某邻域上有定义,当自变量由变到时,函数相应由变到,函数相应的增量为.
其几何意义如右图所示.
定义1 设函数在点的某邻域内有定义,如果自变量的增量趋于零时,对应的函数增量也趋于零,即
:
则称函数在点是连续的.
定义(间断点的分类) 设为的一个间断点,如果当时, 的左、右极限都存在,则称为的第一类间断点;否则,称为的第二类间断点. 对第一类间断点还有
(1)当与均存在,但不相等时,称为的跳跃间断点;
(2)当存在,但不等于在处的函数值时,称为的可去间断点.
若,则称为的无穷间断点,无穷间断点属第二类间断点.
。
解因为,
, ,且为跳跃间断点.(如下左图).
解:因为;即. 所以是的第一类间断点,且为可去间断点.(如上右图).
例3 在处没有定义,且,则称为的无穷间断点.
连续函数的基本性质:
定理. 若f (x), g(x)在点 x0处连续, 则:(1) af (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数. (2)
f (x) ·g(x)在x0连续(3) 当 g(x0)¹0时, 连续
定理设若y=f [j(x)]由 y=f (u), u=j