文档介绍：- 1- 张量分析与连续介质力学教材: 《 The Mechanics and Thermodynamics of Continua 》 . Gurtin, E. Fried, L. Anand. Cambridge University Press, 2010 教学参考书: 1、《 An Introduction to Continuum Mechanics 》, . Gurtin, Academic Press, 1981. (中译本:郭仲衡等译,连续介质力学引论,高等教育出版社, 1992 ) 2、《连续介质力学基础》,熊祝华等,湖南大学出版社, 1997 3、《连续介质力学基础》,黄筑平,高等教育出版社, 2003 4、《非线性连续介质力学》,匡正邦,上海交大出版社, 2002 - 2- x v y 第一章张量分析基础第一节矢量和张量代数一、矢量代数本课程只在三维欧氏空间?内讨论连续介质力学的基础原理。 1、点——反应一定的空间位置,由 x 表示 2、矢量——具有大小和方向且满足一定规则的空间实体,用 v 来表示。(两点间的距离可由一矢量表示) (点 x 和矢量 v 之和是另一个点 y) 3、矢量的点积和叉积 1) 点积( ?为两个矢量间的夹角) u 表示矢量的大小,为一标量,有 uuu??。- 3- 2) 叉积 wvu??(为一新的矢量) vu?表示由 u和 v 构成的平行四边形的面积。? sin vuvu??且 uw?, vw? 3) 混合积?? wvu???? wvu??表示由 u, v和 w 三个矢量围成的体的体积。?如果该体的体积不为零,则称 u, v和 w 线性无关。?如果对于不为零的常数 a,b,c ,有: 0???wvucba 则称 u, v和 w 线性相关。不满足线性相关的矢量则是线性无关的。- 4- 4、矢量空间及其性质由欧氏空间?中对应的点构成的矢量形成的空间称为矢量空间?。如果 u, v和 w 是线性无关的,则?? w v, u, 构成矢量空间?的基,即?中任一矢量都可以表示为: wvu??????a 1) 如果?? 0???wvu ,则基?? w v, u,是正向的( 右手法则)。 2) 如果?? cba??和?? wvu??是同号的,则两组基?? c b,a,和?? w v, u,是同向的。 3) 如果和, 则基?? w v, u,是正交的,且 u, v和 w是单位矢量。?矢量的相等定义: 1 )若对于所有的矢量 v ,有 vbva???,则 ba?; 2 )若对于所有的矢量 v ,有 vbva???,则 ba?。?子空间的定义:对于矢量子集合?中的任意矢量 u和 v 以及任意的标量?和?, 如果线性组合 vu???也属于?,则称矢量子集合?为子空间。- 5- 例: ?的子空间有?? 0 ,过原点的线,过原点的面以及?本身。回顾:矢量运算的基本定律。 1 矢量和:满足交换律 uvvu???结合律???? wvuwvu????? 2 数乘: 满足分配律?? uuubaba???(a,b 为实数) ?? vuvuaaa???结合律?? uuab ba? 3 矢量的点积:满足交换律?? vuvuaaa???分配律?? vfufvuf??????正定性 0??uu ,当且仅当 0?u时 0??uu Schwartz 不等式 vuvu?? 4 矢量的叉积:满足分配律?? vfufvuf??????二重叉积?????? wvuvwuwvu?????? 5 混合积: 记为?? wvu???? wvuwvu?????有???????????? uvwvwuwuvvuwuwvwvu????????- 6- 5、 Cartesian 坐标系(直角坐标系) Cartesian 坐标系由一个原点和一组正向的正交基?? 321e,e,e 构成。基矢间满足: ijjiδee???? ijk kjiεeee???(i,j,k =1 ,2,3) ijδ为 Kronec k er 函数,有 ji ji ij??????0 1δ ijkε为置换符号, 定义为????????????????如果指数重复 3,2,1 1,3,2 2,1,3 k j, i, 3,1,2 2,3,1 1,2,3 k j, i,ε?????????????0 1 1 ijk6、求和约定及矢量和点的分量表示 Einstein 求和约定:两个相同的指标表示对( 1,2,3 )遍历求和,即- 7- 这两个相同的指标称为哑标( dummy index ) ,可用任意两个相同的指标表示,即: 矢量的分量表示:(j =1, 2,3) ju 则称为 u 关于 Cartesian 坐标系基矢的分量, 也可以写成: 以此类推,可将点 x 的坐标写成: 矢量运