文档介绍：第八讲非负数
所谓非负数,:实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根.
若a是任意实数,则a2n≥0(n为正整数),特别地,当n=1时,有a2≥0.
若a是实数,则
性质绝对值最小的实数是零.`
(1)数轴上,原点和原点右边的点表示的数都是非负数.(2)有限个非负数的和仍为非负数,即若a1,a2,…,an为非负数,则
a1+a2+…+an≥0.
(3)有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零,即若a1,a2,…,an为非负数,且a1+a2+…+an=0,则必有a1=a2=…=an=0.
在利用非负数解决问题的过程中,这条性质使用的最多.
(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数.
(5)最小非负数为零,没有最大的非负数.
(6)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数.
应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数,正确运用非负数的有关概念及其性质,巧妙地进行相应关系的转化,从而使问题得到解决.
解得a=3,b=-
解因为(20x-3)2为非负数,所以
-(20x-3)2≤0. ①
-(20x-3)2≥0. ②
由①,②可得:-(20x-3)2=
原式=||20±0|+20|=40.
说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0,则a=0”,这是个很有用的性质.
例3 已知x,y为实数,且
解因为x,y为实数,要使y的表达式有意义,必有
解因为a2+b2-4a-2b+5=0,所以
a2-4a+4+b2-2b+1=0,
即(a-2)2+(b-1)2=0.
(a-2)2=0,且(b-1)2=0.
所以a=2,b=
例5 已知x,y为实数,求
u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x,y的值.
解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3
=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2
=(x-y+1)2+(2x-y)2+2.
因为x,y为实数,所以
(x-y+1)2≥0,(2x-y)2≥0,所以u≥
时,u有最小值2,此时x=1,y=2.
例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数.
解将原方程化为
a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0,
即
(ax-1)2+x2+a2+3=0.
对于任意实数x,均有
(ax-1)2≥0,x2≥0,a2≥0,3>0,所以,(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0,故
(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根.
例7 求方程的实数根.
分析本题是已知一个方程,但要求出两个未知数的值,而要确定两个未知数的值,,要将已知方程变形,看能否出现新的形式,以利于解题.
解之得
经检验,均为原方程的