文档介绍：初中数学竞赛试卷 [20xx年全国初中数学竞赛试题和答案解析]
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20xx年全国初中数学竞赛试题和答案解析一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知为整数，且满足，则的可能的值有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C. 由已知等式得，显然均不为0，所以＝0或. 若，，可求得或所以或. 因此，的可能的值有3个. 2．已知非负实数满足，则的最大值为（） A． B． C． D．【答】 A. ，易知：当，时，取得最大值. 3．在△中，，为的中点，于，交于，已知，，则＝（） A． B． C． D．【答】 B. 因为，，所以四点共圆，所以，又，所以，所以. 又易知△∽△，所以，从而可得. 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（） A． B． C． D．【答】 B. 若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；
　　若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法. 要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种. 因此，所求概率为. 5．设表示不超过实数的最大整数，，则（） A． B． C． D．1 【答】 D. 设，则，所以，因式分解得，所以. 由解得，显然，所以1. 6．在△中，，，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形, ,则的长为（） A． B． C． D．【答】 A. 过作于，易知△≌△，△∽△. 设，则，，，，故，，故可得. 故. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数满足，，则____．【答】 0. 由题意知，所以整理得，所以0. 2．使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为．【答】144. 由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以. 当时，由可得，可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数的最大值为144. 3．已知为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△的内心，则．【答】. 由题意可得，而，所以，从而可得. 又，所以，从而. 所以，，所以. 4．已知正整数满足:，，，则．【答】36. 设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，. 又，故，即. 注意到，所以或. 若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去. 若，则，验算可知只有满足等式，此时，符合题意. 因此，所求的. 三、（本题满分20分）设实数满足，，求的值．解由已知条件可得，. 设，，则有，， …………5分联立解得或. ………10分若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；
　　………… … 15分若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式， . ………20分四、．（本题满分25分）如图，在平行四边