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第四章：曲线坐标系张量分析
张量场函数：T f r在空间中每一点定义一个张量T
曲线坐标系回顾：
1 2 3
笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 rx e1  x e 2  x e 3
xi 坐标线：只变化一个坐标 xi 时，矢径的轨迹。
直线坐标系下，坐标线都是直线。
当 xi x i  1 ,  2 ,  3  ，1 ，2 ，3 坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系
r
协变基：g 
i i
所以：
xk xk ii 
geik g ' ''ekig
i i i ii
j jj''j
 '  
gej  g j egj
xm m j xm m  j
原因：
 j xk j x m  j
g g j e e    j
ikxm i m xm ii  i
曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数
基矢量的导数
基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：
g
j  kkgg  
i ij k ij,k
其中组合系数
k
ij 称为第二类 Christoffel 符号
ij,k 称为第一类 Christoffel 符号
Christoffel 符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。事实上：
g
kk j g
ij i
g
 j g
ij,ki k
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① 指标对称性
第二类 Christoffel 符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量（第二个协变指标）
对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。然而，根据协变基矢量的定义：
r
g 
j  j
可得：
g 2rg
kkj gk   g k i  g k  
iji i  j j ji
g 2rg
j g   g i  g 
ij,kik  i  j k j k ji,k
说明 Christoffel 符号相对它的前两个协变指标是对称的。
②不是张量
在直线坐标系中，由于基矢量不随坐标而改变，所以第二类 Christoffel 符号全部为零。
如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。
② 两类 Christoffel 符号之间的联系
由于 Christoffel 符号的第三个指标是矢量的分量指标，所以可以通过度量张量进行升
降。
gg
k jj gg k gg km   km 
ijii  m ij,m

gg
 jj gg  ggmm  
ij,kiik  km km ij
④逆变基矢量的导数
ii
由 ggjj 