文档介绍：第四章:曲线坐标系张量分析
张量场函数:在空间中每一点定义一个张量
曲线坐标系回顾:
笛卡尔坐标系下空间一点的矢径
坐标线:只变化一个坐标时,矢径的轨迹。
直线坐标系下,坐标线都是直线。
当,,,坐标线中至少有一个是曲线时,称为曲线坐标系
协变基:
所以:
原因:
曲线坐标系中,基矢量是曲线坐标的函数
基矢量的导数
基矢量对曲线坐标的导数还是矢量,因而可以用基矢量的线性组合表示:
其中组合系数
称为第二类Christoffel符号
称为第一类Christoffel符号
Christoffel符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。事实上:
指标对称性
第二类Christoffel符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量(第二个协变指标)对哪一个曲线坐标(第一个协变指标)求导数。然而,根据协变基矢量的定义:
可得:
说明Christoffel符号相对它的前两个协变指标是对称的。
②不是张量
在直线坐标系中,由于基矢量不随坐标而改变,所以第二类Christoffel符号全部为零。如果它是张量,它在任意坐标系中都应是零。
两类Christoffel符号之间的联系
由于Christoffel符号的第三个指标是矢量的分量指标,所以可以通过度量张量进行升降。
④逆变基矢量的导数
由可知:
从而
(逆变基导数表达式符合张量指标规则,但要加负号)
⑤与度量张量分量导数之间的关系
(a)
(b)
i
j
k
(c)
(b)+(c)-(a)
规则:
分别求度量张量分量对曲线坐标的导数,度量张量的分量指标按与曲线坐标指标构成顺时针排序确定;
曲线坐标的指标为时为正,曲线坐标的指标为k时为负;
将所得结果相加的一半即为。
例题:求对曲线坐标的导数
从中可得Christoffel符号的一个重要性质:
Hamilton 算子
定义:
运算规则:作用于张量时,运算结果由对张量对曲线坐标求偏导数与相应的基矢量组成;基矢量指标与曲线坐标指标相同;基矢量与张量偏导数之间的运算与算子与张量之间的运算相同:
(张量的左右梯度)
(张量的左右散度)
(张量的左右旋度)
Hamilton 算子是一种不依赖坐标系的微分算子,计算结果与坐标系的选择无关:
证明:
Hamilton 算子与张量之间的运算结果是张量
例如:
张量分量的协变导数
张量对曲线坐标的导数
张量分量的协变导数
由以下几个部分组成:
普通偏导数:
含逆变指标的分量与第二类Christoffel符号相乘:
其中的逆变指标为张量分量的逆变指标
原张量分量的逆变指标与的第一个协变指标构成一对哑指标
的第二个协变指标为曲线坐标的指标
含协变指标的分量与负第二类Christoffel符号相乘:
其中的第一个协变指标为张量分量的协变指标
原张量分量的协变指标与的逆变指标构成一对哑指标
的第二个协变指标为曲线坐标的指标
由于
按张量分量协变导数的定义:
=
可见张量分量的协变导数是张量梯度的分量,因而是张量分量。
度量张量的协变导数为零
置换张量的协变导数为零(作业)
设; ;则有:
以及
;
因此:
所以
即:张量分量乘积的协变导数符合标量函数乘积的求导法则
该结论对高阶张量同样成立:
根据度量张量和置换张量协变导数为零的性质,可从上式中得到:
推论1:
推论2:
张量分量的缩并与求协变导数次序可交换:
先求的协变导数:求导
缩并
然后缩并 i,k指标可得:
先缩并后求导(自由指标减少2个):
比较后可知两者是相等的。
Riemann-Christoffel 张量
矢量分量的一阶协变导数:
(二阶张量)
二阶协变导数:
互换k,j指标,可得:
因而
根据张量的商法则可以证明:
(后两个指标为求导指标;前两个指标为分量指标)
是张量,称为藜曼曲率张量(Riemann-Christoffel)
构成法:将Christoffel 符号的m指标看作张量指标求对的协变导数;
将Christoffel 符号的m指标看作张量指标求对的协变导数;
两者相减
藜曼曲率张量描述的是空间的性质
欧式空间:藜曼曲率张量等于零,张量(矢量)的偏导数次序可以交换
说明:因为欧式空间中存在全局直线坐标系(如笛卡尔坐标系),在直线坐标系中Christoffel符号全部等于零,因此藜曼曲率张量也为零。
可展曲面:藜曼曲率张量为零的曲面
三维空间中的曲面可以看成是二维空间,如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零,则这张曲面就